1. Теорема Гаусса

Пусть некоторый точечный заряд q создаёт электростатическое поле, напряженность которого в любой точке пространства, равна:

.

Окружим заряд q воображаемой сферической поверхностью, площадь которой равна:

S= .

Определим поток вектора через эту поверхность. По определению он будет равен

числу силовых линий, пересекающих эту поверхность:

.

В свою очередь .

Получим:

.

Если поверхность, окружающая точечный заряд будет не сферическая, то результат будет тот же самый.

Знак потока вектора напряженности совпадает со знаком заряда, создающего поле.

Доказательство теоремы Гаусса

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности произвольной формы находится несколько точечных электрических зарядов

По определению

.

Исходя из принципа суперпозиции полей, результирующая напряженность будет равна:

И общая их проекция на внешнюю нормаль тоже будет равна:

Тогда

Учитывая соотношение , получим, что

Поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную.

Если же заряды внутри поверхности не точечные, а распределены по объёму с некоторой плотностью , то математическая запись теоремы Гаусса будет иметь вид:

Примеры расчёта напряжённости поля с помощью теоремы Гаусса.

1. Рассмотрим бесконечную плоскость, равномерно заряженную с поверхностной плотностью .

Рис.5

Выделим на этой плоскости элемент поверхности , на котором построим цилиндр, образующие которого направлены параллельно вектору напряженности . Поток вектора напряженности электростатического поля через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как силовые линии поля эту поверхность не пересекают. Поток вектора напряжённости через основания цилиндра равен:

.

По теореме Гаусса , получим .

Рис.2

В случае, если электростатическое поле создано двумя разноименно заряженными плоскостями, то напряженность поля между ними будет равна .

2. Определим напряженность поля заряженной сферы, радиус которой равен .

Пусть поверхностная плотность заряда на сфере, тогда общий

заряд на ней равен .

Окружим сферу воображаемой поверхностью радиуса .

Тогда поток напряженности через эту воображаемую

поверхность по теореме Гаусса будет равен:

.

Рис.6

а) Работа сил электростатического поля.

Пусть поле создано точечным зарядом . В поле этого заряда из точки 1 в

точку 2 перемещается заряд .

и - радиус-векторы, определяющие

положения точек 1 и 2.

Будем считать, что заряд находится

в начале системы отсчета. Определим

работу по перемещению заряда в

поле заряда из точки 1 в точку 2.

Рис.7

В любой момент времени положение определяется радиус-вектором . Разобьём всю траекторию движения заряда на элементарные отрезки . Тогда элементарная работа на отрезке будет равна:

где - сила электростатического взаимодействия между и ,

- угол между векторами и .

По закону Кулона .

Из чертежа (Рис.7) видно, что приращение вектора при перемещении заряда вдоль элемента равно . Тогда элементарная работа будет равна

Полную работу получим, просуммировав все элементарные работы:

Изменив форму траектории движения заряда , проводя аналогичные рассуждения, получим тот же результат.

Следовательно:

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется положением начальной и конечной точек траектории.

На основании этого можно сделать выводы:

1. Работа сил электростатического поля по замкнутому контуру всегда будет равна нулю.

2. Электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

б) Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Будем перемещать заряд по некоторому контуру длиной . Запишем элементарную работу на бесконечно малом отрезке этого контура:

По определению , следовательно .

Тогда элементарную работу можно записать , где модуль напряженности электростатического поля, а - угол между направлениями векторов и .

Из построения видно, что = , где проекция

вектора на направление .

Получили, что элементарная работа равна: вектора на

направление равна:

Рис. 8

Полная работа по перемещению заряда по контуру , соединяющему точки 1 и 2, будет равна

Если заряд перемещают по замкнутому контуру, то полная работа должна быть равна нулю, следовательно,

.

Так как , значит

Выражение, стоящее в левой части, полученного соотношения называется циркуляцией вектора напряженности по замкнутому контуру.

Таким образом, можно считать, что доказано:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

а) потенциал электростатического поля

Пусть в некотором пространстве сосредоточено электростатическое поле, созданное точечным зарядом .

Перенесем из бесконечности в произвольную точку этого пространства пробный заряд .

Будем считать, что потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием поля и заряда, равна .

Если в ту же точку пространства поместить заряд , то его потенциальная энергия будет равна , поместим заряд - . Поскольку заряд, создающий поле, не изменялся и положение выбранной точки тоже, то отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда должно остаться постоянным.

.

Назовем потенциалом электростатического поля скалярную физическую величину, численно равную потенциальной энергии, которой обладает единичный положительный, точечный заряд, помещенный в данную точку поля.

С другой стороны потенциал численно равен работе, которую совершает электростатическое поле при переносе единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Если поле создано точечным зарядом , то потенциал такого поля в каждой его точке равен:

Исходя из того, что работа есть мера изменения энергии, то при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, она будет равна:

- называется разностью потенциалов, и она равна работе, которую совершает электростатическое поле при перемещении единичного положительного, точечного заряда из одной точки поля в другую.

б) Связь между напряженностью и потенциалом.

Итак, каждую точку электростатического поля можно характеризовать своими значениями напряженности и потенциала. Найдём математическую связь между ними.

Эту же работу можно определить, как убыль потенциальной энергии, т.е.

Из определения потенциала следует, что:

.

Приравняв выражения, определяющие работу, получим:

.

Следовательно .

Если перейти к декартовой системе координат, то

; ;

Поскольку ,

То .

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом и обозначается оператором (набла).

Следовательно

Решая обратную задачу, получим:

Пусть поле создается системой точечных зарядов .

Определим потенциал этого поля в точке 1.

радиус-векторы, определяющие

положение точки 1 относительно каждого

из зарядов.

Рис.9

Работа, которую нужно совершить при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, будет равна сумме работ против сил взаимодействия с каждым зарядом, создающим поле.

Ранее мы получили, что .

Следовательно,

.

Поскольку , получим .

Т.е. потенциал поля, созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

ЛЕКЦИЯ 2

Электрическое поле в диэлектрике.

1. Полярные и неполярные молекулы. Вектор поляризации.

2. Характеристики поля диполя.

3. Электрический диполь в электростатическом поле.

4. Электрическое смещение (электростатическая индукция).

5. Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрический эффект.

В диэлектриках нет свободных носителей заряда, они построены либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов разных знаков, закрепленных в определенных положениях равновесия.

Под действием электростатического поля заряды в диэлектрике лишь смещаются из одного положения равновесия в другое.

Молекула диэлектрика называется полярной, если в отсутствие внешнего электростатического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают.

В противном случае молекула считается неполярной.

Во внешнем электростатическом поле любая молекула диэлектрика становится полярной, так как происходит смещение зарядов и деформация самой молекулы.

Чтобы определить степень воздействия электрического поля на молекулу, необходимо ввести количественную характеристику распределения зарядов в нейтральной молекуле.

Такой характеристикой является вектор электрического момента молекулы, определяемый соотношением:

Поскольку, в целом молекула электронейтральна, то и вектор электрического момента однозначно определяется только распределением заряда и не зависит от выбора системы координат.

В случае если молекула может быть представлена в виде двух равных разноимённых зарядов, то электрический момент равен:

, где q- величина заряда, взятого по модулю;

.

В отсутствие внешнего поля электрический момент неполярной молекулы равен нулю.

У неполярной молекулы электрический момент возникает только во внешнем поле и его величина пропорциональна напряженности внешнего поля.

Внешнее поле стремится сориентировать электрический момент вдоль своих силовых линий.

Таким образом, во внешнем электростатическом поле полярные и неполярные молекулы ведут себя как электрические диполи.

, где электрическая постоянная,

напряженность внешнего поля,

коэффициент поляризуемости молекулы.

Ориентация молекул диэлектрика во внешнем поле (поляризация диэлектрика) приводит к появлению результирующего электрического момента у всего диэлектрика.

Вектором поляризации называется физическая величина, равная векторной сумме электрических моментов молекул в единице объёма диэлектрика.

Можно записать:

,

где n-концентрация молекул диэлектрика,

- диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

а) Поскольку диполь является, по сути, системой из двух разноименных зарядов, то потенциал, создаваемый этой системой зарядов в некоторой точке А, можно записать:

где и -радиус-векторы, определяющие

положения положительных и отрицательных

зарядов относительно точки А. Учитывая, что

- расстояние между зарядами, много меньше

любого из r, получим:

Рис.10

Из построения следует, что

где - единичный вектор, направленный по r.

В результате, поскольку

получим:

= .

Для точечного диполя , поэтому

б) Результирующая напряженность, создаваемая диполем в точке А, является векторной суммой напряженностей полей положительного и отрицательного зарядов.

Сумма проекций напряженностей полей каждого из

зарядов на ось OY будет равна нулю:

, проекции напряженностей на ось OX

равны между собой и равны .

Проводя несложные преобразования, получим:

Рис.11

Так как , то для точечного диполя