33 «Состояние работника и оборудования»

В этой задаче к предыдущей задаче № 1 добавляется требование описания состояния оборудования, которое может быть «свободно»/«занято» (или «исправно»/«неисправно»).

Во втором случае длительность неисправного состояния (состоянии ремонта) задается некоторым правилом (детерминированным или вероятностным).

Диаграмма производственного процесса принимает вид:

Если состояние оборудования «свободно»/«занято», то часто закон распределения времени возникновения отказов принимается экспоненциальным с функцией распределения вероятностей вида:

,

где λ – параметр, равный среднему числу отказов оборудования за единицу времени.

33.2 Анализ функционирования смо

Имитационное моделирование СМО часто отражает желание руководства минимизировать общие расходы по мощности серверов и затраты, связанные с ожиданием клиентов. Оптимальной мощностью (не бывает максимально оптимальной величины, бывает более эффективная, менее эффективная) является такая, при которой сводятся к минимуму сумма расходов на поддержку серверных мощностей и расходов на ожидание клиентов.

Для определения мощности системы (обычно ассоциируемая с пропускной способностью или числом каналов СМО), которая даст минимальные общие расходы, используют процесс повторения (итерационный процесс). Мощность последовательно увеличивается на единицу (например, число каналов или пропускную способность сервера) и для каждого значения в режиме имитации определяем общие расходы. Далее результаты расчетов сводятся в таблицу, визуализируются в виде графика и выбирается искомая величина мощности СМО.

Расчет затрат, связанных с ожиданием клиентов может основываться на числе клиентов в системе или на времени ожидания клиента в очереди. Следует отметить, что время ожидания клиента в очереди связано только с одним клиентом, и по этой величине весьма проблематично вычислять затраты, связанные с ожиданием всех клиентов.

Другим частым вопросом при проектировании или реинжиниринге СМО служит выбор физического места (площади) ожидания клиентов – места, где будет образовываться очередь. Теоретически, при бесконечном потоке клиентов, очередь может быть бесконечно большой – никакой площади или объема буфера не хватит для ее реализации. Однако на практике можно определить длину очереди, которая будет максимально возможной в течение определенного периода времени. Можно определить длину очереди, которая вероятнее всего не будет превышена в течение 98% (или даже 99%) времени и использовать эту величину в планировании системы. В этом случае говорят о величине 98% или 99% обеспеченности (статистический термин).

В ряде случаев результатом анализа функционирования СМО может служить выбор модели множественных приоритетов – дисциплины обслуживания очереди с приоритетом. Примером может служить больница скорой помощи, в которой обслуживание приведенного пациента осуществляется в соответствии с его состоянием здоровья.

В подобных системах клиенты распределяются по категориям или группам в соответствии с заранее выбранным методом присвоения приоритетов. В пределах каждой группы обслуживание осуществляется, например, по принципу FIFO. Таким образом, при поступлении клиента ему присваивается приоритет, вследствие этого клиент с низким приоритетом может ожидать обслуживания достаточно долго. В ряде случаев клиенты, прождавшие больше заранее оговоренного срока, получают прибавку приоритета. Модель множественных приоритетов имеет признаки базовой многоканальной СМО, за исключением порядка обслуживания – не хватает одного: числа серверов по числу категорий приоритетов. Если руководству СМО кажется, что время ожидания VIP-клиентов слишком велико, то на имитационной модели СМО можно рассчитать варианты увеличения числа каналов системы или увеличение темпов обслуживания. Если ни один из вариантов не приводит к приемлемому результату, то можно пересмотреть критерий формирования VIP-категорий, это может снизить среднее время ожидания клиентов VIP-категорий, так как снизится темп их поступления в VIP-категорию! В целом, перераспределение приоритетов не скажется на параметрах категорий, которые мы не затрагиваем. Общее время ожидания всех клиентов не изменится!

Таким образом, имитационное моделирование является мощным средствам анализа СМО. Осталось дело за малым – научиться реализовывать имитационные модели СМО.

34 Системами массового обслуживания будем понимать системы, предназначенные для удовлетворения входящего потока требований на обслуживание.

Под входящим потоком требований (называемых транзактами) может пониматься поток посетителей – клиентов в парикмахерской, магазине, банке, аптеке, поток кораблей в портах, самолетов в аэропортах, поток запросов со стороны приложения для выделения оперативной памяти компьютера, запросы на выборку необходимой информации из БД. Список примеров систем массового обслуживания можно продолжить.

Классификация:

1. По параметрам входного потока транзактов

а) конечный поток

количество транзактов

б) бесконечный поток

в) регулярный поток

характер поступления транзактов в систему

г) случайный поток

2. По характеристикам сервисной подсистемы

а) одноканальные

по числу каналов (устройств) обслуживания

б) многоканальные

в ) одноэтапная

(одностадийная, однофазная) система по числу этапов,

стадий

г) многоэтапная

(многостадийная, многофазная)

система обслуживания

3. По характеру взаимодействия сервисной подсистемы с очередью (дисциплина обслуживания очереди)

а ) FIFO

(первый пришел –

первый обслуживается) ожидание без

ограничения

б) LIFO (стек –

последний пришел –

первый ушел) обработка

вызова подпрограмм

компилятором

в) случайная выборка (базар)

г) обслуживание с приоритетом – тогда транзакты должны иметь атрибуты

приоритета (VIP обслуживание)

Примеры СМО для классификации:

7. Самолеты, поступающие на ВВП – взлетно-посадочную полосу (одинарный);

8. Студенты на сдачу зачета преподавателю (поток с последствием – зависит от того, как эти студенты занимались в семестре!);

9. Ракеты противника, если все противоракетные установки заняты обслуживанием других ракет – СМО с отказом;

10. Автосамосвал с цементным раствором – он должен быть разгружен (обслужен) в другом месте;

11. Самолет, ожидающий взлета – очередь с ожиданием;

34.2 При моделировании достаточно часто приходится сталкиваться с дискретным распределением Пуассона, задаваемым своей плотностью .

Случайные величины, подчиняющиеся распределению Пуассона:

• число - частиц, попадающих в заданную область за заданный интервал времени;

• количество дефектов в готовом изделии;

• количество аварий за данный отрезок времени;

• число требований выплаты страховых сумм, поступающих в единицу времени;

• число вызовов, приходящихся на телефонную станцию в единицу времени;

Непрерывным аналогом дискретного распределения Пуассона служит экспоненциальное распределение с функцией распределения . Этому распределению подчиняются случайные величины:

срок службы электронных приборов;

интервалы времени между последовательными отказами в электронных приборах;

длительность испытаний на долговечность;

интервалы времени между последовательными неисправностями в сложных механизмов;

В учебниках по теории вероятностей и учебниках по имитационному моделированию можно найти большое число примеров случайных величин и их вероятностные законы распределения.

35

35.1 Математическое выражение и служащий для описания функционирования системы будем называть ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОПИСАНИЕМ СИСТЕМЫ.

В качестве графических средств при моделировании СМО для формализованного описания и анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно (параллельно) протекает несколько процессов (приход клиента, ожидание в очереди, обслуживание УО) можно с успехом использовать сети Петри или язык UML (Буг, Рембо, Дстрожекобсон).

Далее построим имитационную модель с помощью пошагового моделирования. Вы сможете сравнить “трудоемкость” создания им простейшей СМО этим способом.

Описание функционирования системы в виде последовательности событий, происходящих в СМО назовем Событийной моделью системы.

Примем за показатель состояния СМО структуру, состоящую из:

Моделирование начинаем в момент t = 0 прихода 1-ого клиента!

Начальные состояния СМО:

t := ; Q = ; UO = 1; t1 = ; OUT = 

прошел промежуток времени dt

t:=t+dt;

если (U0=1) то (t1:=t1+dt) – время должно изменяться синхронно! На то оно и время!

Смысл алгоритма: если УО занято, то его таймер включен, иначе t1:=0

Проверка на завершение обслуживания:

Если (t1=t) то {(OUT=1) & (UO=0) & (t1:=0)}; - транзакт освободил UO и вышел из СМО обнулив таймер

Клиент на входе:

IN:=NOT(RND<=0.5) – приход нового клиента

Если (IN=1) то (Q:=Q+1) – если пришел, то сразу встал в очередь

Если (UO=0) & (Q>0) то {Q:=Q-1; UO:=1; t1:=0} – началось обслуживание нового клиента

Проверка завершения моделирования – stop

Переход на увеличение времени

Если заказчика интересуют какие-либо характеристики (показатели) функционирования СМО то список вектора состояния СМО следует пополнить этой информацией.

Таким образом, ИМ представляет собой алгоритм, имитирующий функционирование СМО во времени. Описание этого алгоритма далее будем называть логико-математическим описанием СМО. Логико-математическое описание СМО, реализованное в виде алгоритма, и есть имитационная модель СМО.

35.2 Линии связи, компьютерные сети, система автодорог, телефонная сеть, торговая система магазинов и складов, электросеть представляют собой примеры систем, в которых осуществляется то или иное взаимодействие элементов. При этом по сети перемещается нечто, что будем дальше называть потоком. Это может быть информацией, передаваемой электрическими сигналами, или электроэнергией, или массовым потоком – вода в водопроводе, или людским потоком (перевозка людей по железной дороге или в метро). Примеры можно продолжить.

Описывать и соответственно моделировать подобные системы удобно с помощью математического объекта – графа.

Граф можно рассматривать как совокупность элементов, называемых вершинами, соединенных между собой линиями, называемыми ребрами (ветвями). Ребра графа могут соответствовать дорогам, телефонным проводам, железнодорожным или авиалиниям, магистралям водопровода, т.е. каналам по которым передается тот или иной поток. Вершины графа могут представлять собой города, перекрестки автодорог, телефонные станции, вокзалы и аэропорты, то есть точки, в которых потоки возникают, задерживаются, изменяются и заканчиваются.

Структурно сходные сети могут иметь различные характеристики. Например, как электрическая, так и телефонная сети могут быть представлены в виде графа. Однако в первом случае ребра описываются такими атрибутами, как сопротивление, индуктивность, емкость, то во втором – число линий в пучке, пропускной способностью и стоимостью единицы длины линий. Цель введения весов в структурную модель системы заключается в том, чтобы включить в структурную графовую модель системы неструктурную атрибутивную информацию.

Моделирование автоматических систем сетями Петри

Широкое использование параллельных и распределенных систем обработки информации приводит к необходимости их проектирования и описания, а, следовательно, и моделирования. Системы функционируют в виде реализации взаимодействующих между собой процессов. Современным средством описания параллельных и взаимодействующих процессов являются формализм сетей Петри. С помощью этих же сетей моделируют динамические свойства параллельных и/или распределенных систем.

Описание понятия сеть Петри опирается на понятие комплекта, являющегося некоторым обобщением понятия множества. Как и множество – комплект, это совокупность элементов, но всякий элемент может входить в него более одного раза. То есть отношение включения заменяется на отношение числа экземпляров элемента в комплекте (читается «число в комплекте B»). Поэтому можно рассмотреть множество как «предок» комплекта, или комплект – наследник множеств.

Многие понятия теории множества распространяются и на комплекты. Например: мощность комплекта есть число экземпляров элементов в комплекте. Далее будем говорить, что: комплект A включен в комплект B (является подкомплектом B), если . С помощью отношения (вернее функции #) определяется операции над компонентами:

Объединение компонентов A и B:

.

Пересечение комплектов A и B:

.

Разность комплектов A и B:

- если эта величина неотрицательная, иначе - нуль!

Пусть - множество, то через будем обозначать множество всех комплектов, построенных из элементов , так что

.

- множество всех компонентов, построенных из элементов без ограничения на число экземпляров в комплекте.

Определение. Сеть Петри это четверка , где

- конечное, непустое множество позиций;

- конечное, непустое множество переходов;

- входная функции, отображающая позиции в комплекты переходов: ;

- выходная функция, отображающая переходы в комплекты позиции: .

Сеть Петри графически представляется в виде ориентированного мультиграфа (наличие кратных дуг от одной вершины к другой), с вершинами двух видов: кружки соответствуют позициям, планки – переходам. Функции и изображаются дугами.

Двудольный (т.к. вершины – позиции, переходы) мультиграф – (так как много ребер – от одной вершины к другой!) Рассмотрим переход . Позиции, дуги из которых ведут в переход , назовем входными для ; аналогично, позиции, в которые ведут дуги из перехода , назовем выходными для . Множество входных позиций будем обозначать, как и выходных – . Тогда для нашего случая, изображенного выше, имеет место:

;

;

;

.

Функции и , которые еще называют прямой и обратной функциями инцидентности, можно обобщить и на отражение позиций в комплекте переходов , что позволяет обозначать множества входных и выходных переходов позиции аналогично предыдущему. ;

; ; ; .

Напрашивается матричное описание сети Петри в виде входной матрицы инцидентности.

– для нашего примера, где число ребер идущих из i-ой позиции в j-переход.

Выходная матрица инцидентности.

– для нашего примера сети Петри. Введение входной и выходной матрицы инцидентности решает задачу описания сети Петри.

Наибольшее значение с прикладной точки зрения, во многом определившее интерес к сетям Петри имеет обобщение СП – маркированная сеть Петри:

, где – вектор начальной маркировки, – компонента вектора начальной маркировки сети, соответствующий позиции .

В определении сети Петри часто выделяют первые четыре компоненты, которые задают структуру СП: .

Примеры: ординарная маркировка СП.

l =

Процесс изменения маркировок сети Петри происходит в результате запуска переходов, который определяется условием активности и правилом срабатывания переходов.

Правило определения текущего состояния СП  задается вектором текущего состояния маркировки.

Правило (условие) активности переходов.

Переход , где СП имеет структуру , называется активным (разрешенным, возбужденным) при маркировки, если – число маркеров в каждой входной позиции перехода. Имеется количество маркеров, большее или равное количеству дуг соединяющих эту входную позицию с данным переходом.

1. Правило срабатывания перехода. Если переход сети Петри активен при маркировки , то срабатывание этого перехода, осуществленного мгновенным образом, приводит к новой маркировке, компоненты которой определяются по формуле

.

Понятие текущего состояния, правила активности, и срабатывания переходов позволяет придать сетям Петри динамические свойства и с их помощью моделировать ряд систем. Далее вводятся соответствующие понятия, такие как непосредственная достижимость маркировок, достижимость маркировок, множество достижимых маркировок, дерево достижимых маркировок, ограниченность позиций, безопасность позиций, сохраняемость СП, устойчивость переходов, условий активности переходов, тупиковая маркировка.

При моделировании процессов функционирования динамических систем с помощью сетей Петри, исследование характеристик предполагает решение следующих задач:

1. Задача достижимости маркировки;

2. Задача покрываемости маркировки;

3. Задача безопасности позиций сети Петри и так далее.

Решение этих задач позволяет установить все основные свойства сетей Петри, содержательная интерпретация которых зависит от проблемной области и рассматриваемых моделей прикладных систем.