Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_po_lineyke.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
22.04.2019
Размер:
1.89 Mб
Скачать

1.Понятие n-мерного вектора, основные определения. Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных

чисел а1 а2, ..., ап называется п-мерным вектором а; числа, составляющие упомянутый набор, наз-ся координатами вектора а. Определение 2. Совокупность всех n-мерных векторов наз-ся п-мерным векторным пространством R".

Координаты n-мерного вектора а можно расположить в строку (вектор-строка)

а =(а1, а2, ..., а„),(1.1) или в столбец (вектор-столбец) (1.2)

Определение 3. 2 вектора с одним и тем же числом координат a=(a1, а2, ..., ап), b =(b1, b2,...,bn) (1.3) наз-ся равными, если их соответствующие координаты равны, т. е. a1= b1, а2 = b2 аn =bn Определение 4. Вектор, все координаты которого =0, наз-ся нулевым вектором: 0=(0, 0, ..., 0).

2.Операции над векторами, основные свойства операций. Пусть векторы а и Ь (1.3) принадлежат n –мерному векторному пространству R". Будем называть суммой векторов а и Ь вектор с, координаты которого = суммам соответствующих координат этих векторов: с = а + b = ( а 1 + b1, а2 + b2, ..., ап + b п ) , (1.4) X — любое действительное число. Произведение вектора а на число K (лямбда) - вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора а на это число: ka=(ka1, ka2…kan); (1,5)

Cвойства этих операций. Пусть a, b и с — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда: 1)a+b=b+a-переместительное св-во; 2)(a+b)+c=a+(b+c)-сочетательное; 3)k(a+b)=ka+kb-где к-действительное число; 4) (k+n-ню)a=ka+na-где k,n-действительные числа; 5)k(na)=(kn)a- 6)a+0=a 7)для любого вектора а существует такой вектор –а,что -a=(-1)a; a+(-a)=0 8)0a=0-для любого вектора а.

Определение 5. Скалярным произведением векторов а и b (1.3) -число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов: ab-векторы(палка вверху) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. (1-6)

Основные свойства скалярного про-

изведения векторов:1)ab=ba- соблюдается правило коммунитативности; 2)(ka)b=a(kb)=k(ab)-к-действительное число 3)a(b+c)=ab+ac; 4)aa>0, если a 0 и aa=0,если a=0

3. Линейная зависимость системы векторов. При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую сов-ть наз-ют системой векторов (1-10). Сист векторов а1, а2…ак наз-ся линейно зависимой, если сущ-ет такой набор коэффициентов α1, 2…,αк, из которых хотя бы один . Сист векторов, которая не явл-ся линейно зависимой, наз-ся линейно независимой . Определение2: а1, а2, а m – линейно независимы, если один из них линейно выражается через все остальные т.е. . Определение 3  Сист векторов наз-ся линейно независимой, если равенство возможно только при . Предложение 1 Сист векторов линейно зависима т.и т. т., когда один из векторов сист явл-ся линейной комбинацией остальных векторов этой сист. Предложение 2  Если сист векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Предложение 3  Сист, состоящая из 1 вектора, линейно зависима т. и т. т., когда этот вектор нулевой. Предложение 4  Сист, состоящая из 2х векторов, линейно зависима т. и т. т, когда эти векторы коллинеарные. Предложение 5 Система из3х векторов линейно зависима т. и т. т, когда эти векторы компланарные.Предложение 6 4 вектора всегда образуют линейно зависимую систему. Для векторного пространства R" справедлива следующая теорема.Теорема 1.1. В пространстве R" любая система, содержащая т векторов, линейно зависима при т > п.

4. Лемма о линейной зависимости системы векторов, содержащей нулевой вектор. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то такая система явл-ся линейно зависимой. A1=(a11, a12, a13) A2=0A1+0A3 A2=(0,0,0) k1=0 A3=(a31,a32,a33) k3=0

5. Лемма о линейной зависимости диагональной системы векторов. Рассмотрим систему векторов лестничного вида. Понятно, что это n векторов, у первого нет нулей, у второго - один нуль впереди, у третьего два нуля впереди и так далее до последнего, у которого все нули, кроме последнего члена. Эта система линейно независима (лемма). Для ее док-ва допустим, что система линейно зависима. Тогда 1-ый вектор, у которого нет нулевых координат, может быть выражен через все другие. Но при этом окажется, что его (1-го вектора) первая координата = 0, поскольку первые координаты всех других векторов =0. Но первая координата 1-го вектора не равна 0 по определению, следовательно, наше утверждение о линейной зависимости лестничной системы векторов ложно, а верно обратное, т.е. эта система линейно независима, что и требовалось доказать.

6. Базис и ранг системы векторов. Максимально независимой подсистемой системы векторов - называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы линейно выражается через векторы этого набора. Определение 9. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. В одной и той же сист векторов может быть несколько базисов, но число векторов в каждом базисе одно и то же. Два различных базиса одной и той же системы векторов содержит одинаковое количество векторов. Ранг системы векторов-число векторов в любом базисе системы, т.е. ранг системы векторов-max-ое число линейно независимых векторов системы. Определение 10. Система п векторов называется базисом пространства R", если:1) векторы этой системы линейно независимы; 2) всякий вектор из R" линейно выражается через векторы данной системы.

7. Матрицы. Основные понятия и определения. Матрица порядка m n – таблица вещественных чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. A(m*n) = = (aij), i= j= . При этом произведение тп числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Матрица, все элементы которой =0, называется нулевой матрицей. В том случае, когда т = п (число строк = числу столбцов), м-а А наз-ся квадратной. Тогда число п называется порядком м-ы. Упорядоченная сов-ть эл-ов ап, а>2, -, а„„ называется главной диагональю квадратной м-ы. Диагональная м-а-квадратная м-а, все эл-ты которой стоящие вне главной диагонали=0. Единичная м-а – квадратная м-а, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные эл-ты – 0. . Треугольная м-а – квадратная м-а, у которой все эл-ты расположены по одну из сторон главной диагонали=0. Блочная м-а – м-а эл-ты которой разбиты на некоторое число подматриц. А(m*n) = A11=(m1 n1); A12=(m1 (n-n1); A21((m-m1) n1); A22((m-m1) (n-n1)). М-а перестановок – квадратная м-а, такая, что в каждой ее строке и в каждом столбце содержится 1эл-т=1, остальные=0. . Две матрицы А и В называются равными = В),если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: А=В, если aij=bij; ( i= j= ); A>В, если aij>bij (для всех i,j) ; A В, если aij bij (для всех i,j).

8. Операции над -ми. Св-ва операций. 1. Сумма матриц А и В одинакового размера-м-а С того же размера, каждый элемент которой = сумме соответствующих элементов матриц А и В. (m*n)+B(m*n)=C(m*n); 2. Умножение матрицы А на действительное число-матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего эл-та матрицы А на число а. Свойства операций Пусть А, В и С — м-ы, имеющие одинаковый размер, α и β — некоторые действительные числа. Тогда: 1)А+В=В+А; 2)(А+В)+С=А+(В+С); 3) А+О=А; 4) λ*А=А*λ; 5)α(β*А)=(α*β)А; 6) (α+β)В=αВ+βВ; 7)α(А+В)=αВ+αА; 8)0*А=О. Транспонирование м-ы-замена строк м-ы на ее столбцы с сохранением их порядка. Св-ва операции транспонирования м-ц: 1. Дважды транспонированная матрица = исходной матрице: 1)(A’)’ =A; 2) (λ*A)’=λ*A’; 3)(A+B)’=A’+B’; 4) (AB)’=B’A’.5. Главная диагональ квадратной м- не меняется при транспонировании. Симметрические м-ы — квадратные матрицы, у которых эл-ты, симметричные относительно главной диагонали, =, т. е. aij = aji. Произведение матриц Аи В называется матрица С, элементы которой сji равны скалярным произведениям векторов-

строк аi матрицы А на векторы-столбцы bj матрицы В(строчка на столбец. Св-ва произведения м-ц. 1) АВ ВА; 2) (АВ)С=А(ВС); 3) (А+В)С=АС+ВС; 4)АО=О; 5)АЕ=ЕА=А. 6)α(АВ)=(αА)В=А(αВ). Если исходная м-а умножается на м-у перестановок слева, то это приводит к перестановке строк м-ы: * = . Умножение м-ы перестановок справа приводит к перестановке столбцов м-ы: = .

9. Определитель матрицы. Свойство определителя. Любой квадратной м-е А порядка п ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем n-го порядка этой м-ы. Cв-ва определителей.1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из 0, то определитель =0.2. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак.3. Определитель, содержащий 2 одинаковые строки (столбца), =0. 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5. Если каждый эл-т некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы 2х слагаемых, то этот определитель = сумме 2х определителей. 6. Определитель не изменится, если к эл-ам любой строки (столбца) прибавить соответствующие эл-ты др строки (столбца), умноженные на любое число. 7. При транспонировании м-ы ее определитель не меняется. 8)Если к-л строка(столбец) явл-ся линейной комбинацией др.строк(столбцов), то определитель м-ы =0. Используя св-ва определителя можно исходную м-у привести к треугольному виду. Определитель треугольной м-ы = произведению эл-ов, стоящих на главной диагонали.

10 Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков. Пусть дана м-а A = ее определитель 2-го порядка вычисляется по формуле Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле = а11а22а3321а32а1312а23а3131а22а1321а12а3332-аа23а11 . Рассмотрим определитель n-го порядка = ; Aij=(-1)i+j*Mij. Mij (минор эл-та аij)= определитель м-ы которая получается из исходной м-ы А путем вычеркивания строки i и столбца с № j. Mij = Определение . Определителем м-ы А п-го порядка наз-ся алгебраическая сумма п произведений п-го порядка эл-ов этой м-ы, причем в каждое произведение входит по 1у эл-ту из каждой строки и каждого столбца данной м-ы.

11 Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании и нахождении обратной матрицы. Обра́тная м-а — такая м-а A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную м-у E. М-а А наз-ся невырожденной, если ее определитель отличен от 0, т.е. |А| * 0. В противном случае она наз-ся вырожденной. Определение. М-а А-1 наз-ся обратной по отношению к квадратной м-е А, если выполняется равенство А-,-А=А-А-1 = Е. существования обратной м-ы. ТЕОРЕМА (о существовании обратной м-ы) Обратная матрица А-1 сущ-ет и единственна т. и т. т., когда исходная м-а невырожденна. Необходимость.Пусть для м-ы A сущ-ет обратная м-а A-1. Покажем, что |A| ≠ 0. Прежде всего заметим, что можно док-ть следующее св-во определителей |AB|=|A|*|B|. Предположим, что |A| = 0. Тогда |A*A-1|=|A|*|A-1|=0. Но с др стороны |A*A-1|=|E|=1. Полученное противоречие и док-ет, что |A| ≠ 0.

12. Ранг м-ы. Вычисление ранга с помощью преобразований Гаусса. Пусть дана м-а А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Эл-ты, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную м-у k-ro порядка; определитель этой м-ы явл-ся минором k-го порядка м-ы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-то порядка может быть несколько. При этом max-ый порядок миноров равен min-му из чисел т и п, т. е. max k=min (m,n).Из всех возможных миноров м-ы А выделим те, которые отличны от 0. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере 1 минор наибольшего порядка.Определение Наибольший порядок миноров м-ы А, отличных от 0, наз-ся рангом этой м-ы. Вычисление: Элементарные преобразования м-ы-преобразования, которые оставляют ее эквивалентной исходной м-е. При элементарных преобразованиях ранг м-ы не меняется. Элемент-ые преобр-ия:1.вычеркивание нулевой строки(столбца); 2.прибавление к одной строке(столбцу) др.строки(ст), умноженное на любое число ; 3.переставление строк(столбцов).Метод Гаусса закл в том, что при помощи элементарного преобразования приводим м-у к треугольному виду, строки которой явл-ся линейно независимыми, а значит, ранг преобраз-ой м-ы=кол-ву ее строк.

13СЛАУ. Матрично-векторная запись СЛАУ. Понятие решения СЛАУ. Классификация СЛАУ по наличию решений. Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х1 х2, ..., хп имеет вид

Здесь аi и bj, — заданные числа (i= 1, 2,..., m;j = 1, 2,..., п), которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений. Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xi. Решением системы уравнений наз-ся набор п чисел х1 = α1, х2 = α2,..., хn = αn, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество. Система уравнений наз-ся совместной, если она имеет хотя бы 1 решение; если система не имеет решений, она -несовместная. Совместная сист уравнений либо имеет 1 решение и в таком случае наз-ся определенной, либо, если у нее больше 1-го решения- неопределенная.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений в матрицу A=

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение 2е матрицы-столбца: матрицу неизвестных А' и матрицу свободных членов В (векторы-столбцы) , B=

Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен тхп, а размер X — пх1, и значит, произведение этих матриц имеет смысл: АХ = В. Произведение матриц АХ явл-ся, как и В, м-ей-столбцом размера mx1. Все уравнения системы вытекают из уравнения в силу определения равенства 2х матриц Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера mx(п+ 1): A=

М-а Ав называется расширенной м-ей системы.

14 Критерий совместимости СЛАУ(теорема Кронекера-Капели) Теорема. Система линейных уравнений совместна т. и т. т, когда ранг м-ы системы = рангу расширенной м-ы системы. Определение. Рангом совместной СЛАУ наз-ся ранг ее м-ы.

15 Методы решения слау квадратного типа. 1 Метод Крамера

Составим определитель м-ы системы А: который называется также определителем системы.

Теорема. (правило Крамера). Пусть А — определитель матрицы системы А, а ,— определитель, полученный из определителя А заменой j-гo столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если ,≠ 0, то система линейных уравнений (1.40) имеет единственное решение, определяемое по формулам (1,43)

Формулы вычисления неизвестных (1.43) носят название формул Крамера.

2. Метод обратной матрицы

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (1.35), когда число уравнений = числу неизвестных, т. е. т = п. Система уравнений имеет вид

Квадратная м-а А порядка п этой системы получается из матрицы (1.36) при т = п.

В матричной форме система уравнений (1.40) имеет вид (1.38). Пусть м-а системы А явл-ся невырожденной, т. е. сущ-ет обратная м-а А '. Умножив обе части этого уравнения слева на А ', получаем решение системы (1.40) в матричной форме: X=A-1B.

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае, когда порядок п матриц А и А 'достаточно велик, нахождение обратной м-ы может быть довольно трудоемким процессом.

3. Метод Гаусса

Рассмотрим систему уравнений общего вида (1.35). Пусть для определенности а11≠0 (если а11 = 0, то можно переставить на первое место ненулевое слагаемое или начать с другого уравнения). Умножим первое уравнение системы (1.35) на число a21/a11 и вычтем его из второго уравнения этой системы. Затем умножим обе части первого уравнения на число а3111 и вычтем его из третьего уравнения и т. д. — т. е. процесс закл-ся в последовательном вычитании первого уравнения, умножаемого на числа аi111, из i-го уравнения (i= 1, 2, 3, ..., п). Т. о., в результате элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему в которой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неизвестное Х

Здесь верхний индекс в скобках означает новые коэффициенты, полученные после первого шага. Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать с расширенной матрицей системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. Итак, после первого шага, содержащего (т- 1) элементарных преобразований системы, мы переходим от расширенной матрицы (1.39) исходной системы к расширенной матрице

Второй шаг заключается в том, что теперь 2-я строка матрицы (1.45) используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3-й по т-ю: эта строка последовательно умножается на число ai2/а11 и вычитается из i-й строки (i = 3, 4 …т). В результате этих (т - 2) элементарных преобразований получаем новую расширенную матрицу, соответствующую новой эквивалентной системе уравнений. Эта матрица имеет вид

где верхний индекс означает новые коэффициенты. В случае, если элемент а22 = 0, то второе уравнение можно поменять местами с другим уравнением, у которого элемент аi2≠0.Продолжим этот процесс аналогичным образом (т.е. на третьем шаге преобразуются строки с 4-й по т-ю, на четвертом шаге — строки с 5-й по т-ю и т. д.) до тех нор, пока не дойдем до последней т-й строки. После ( r - 1)-го шага процесса последовательного исключения неизвестных мы получим следующую расширенную матрицу:

Последние (т — r) строк этой матрицы соответствуют уравнениям эквивалентной системы уравнений

уравнения могут появиться, если соответствующие уравнения исходной системы (1.35) представляют собой линейные комбинации других уравнений этой системы, о чем говорилось в предыдущем разделе. Здесь мы не исследовали заранее систему (1.35) на совместность; поэтому, если эта система несовместна, то хотя бы одно из чи не равно нулю. Таким образом, метод Гаусса позволяет на определенном шаге установить возможную несовместность исходной системы линейных уравнений или выявить и удалить уравнения, являющиеся линейными комбинациями других уравнений системы (1.35), если она совместна.

Пусть система (1.35) совместна, тогда все правые части уравнений (1.48)

равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе и нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфического ступенчатого вида, ранг которой равен г. Все элементы этой матрицы, стоящие слева или ниже элементов а,,, равны нулю:

Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга г, которая имеет вид

Система уравнений (1.50) уже полностью подготовлена к нахождению решения, которое осуществляется снизу вверх, т. е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (1.35) к эквивалентной ее системе (1.50) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных из системы (1.50) — обратным ходом метода Гаусса. Укажем дальнейшую последовательность действий.

  1. Если ранг системы (1.35) r=п , то система (1.50) имеет вид

Поднимаясь снизу вверх, последовательно находим (обратный ход метода Гаусса):

— из последнего r-уравнения неизвестное

— из ( г - 1)-го уравнения неизвестное хi путем подстановки в это

уравнение уже найденного неизвестного хr

— из i-го уравнения неизвестное хi при подстановке в него найденных

величин хr х(r-1)_,, ..., x(r-i),

— и так далее до первого уравнения, из которого при подстановке в

него уже найденных величин r„ х(r-1), ..., х(r-i) находим х1.

2. Ранг системы уравнений (1.50) r < п. В этом случае объявляем неизвестные х(r+1) х(r+2) хп свободными и формируем правые части уравнений (1.50), оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х1, х2, ..., хn;.

Решение этой системы находится обратным ходом метода: теперь базисные неизвестные зависят от свободных неизвестных, которые могут принимать любые значения, а потому система (1.35) имеет бесчисленное множество решений.

16 Решение СЛАУ прямоугольного вида(m*n). Общее, частное, базисное, опорное решения.

Метод Гаусса.

а11 а12 а1n в1 1 0….0а1(m+1)…а1n

АВ= а21 а22 а2n в2 - 0 1….0а2(m+1)…а2n

аm1 am2 amn вm 0 0….1аm(m+1)…аmn

Столбцы, на которых организовалась единичная матрица(или матрица, у которой на побочной диагонали 1, а остальные 0) являются линейно независимыми, любой другой столбец этой матрицы через них выражается и поэтому они являются базисными столбцами. Переменные, которые связаны с этими столбцами, называются базисными переменными, а остальные переменные называются свободными.

Х1, х2, …хm-базисные

Хm+1, xm+2, xn-свободные переменные

Представление базисных переменных через свободные называется общим решение системы уравнений.

Общее решение системы уравнений СЛАУ.

Из общего решения можно получить любые частные решения, если свободным переменным придать любые произвольные значения. По формулам общего решения рассчитать базисные элементы и совокупность количественных значений для переменных носит название частного решения. Таких значений может быть бесчисленное множество.

Если свободные переменные занулить , то получаем частное решение вида

В1

В2

Хчаст.реш. вm -базисное решение.

0

0

Если базисное решение получилось с неотрицательным знаком, т.е.bj≥0, то такое базисное решение носит название опорное решение.

17. Однородные системы линейных уравнений. Определение. СЛАУ наз-ся однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены =0. В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид

Однородная система уравнений всегда совместна: действительно, набор значений неизвестных хi = 0 (i = l, 2, ..., п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение однородной системы называется нулевым, или тривиальным.

18 Необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения системы вида n*m. Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений разрешает следующая теорема. Теорема. Однородная система имеет ненулевое решение т. и т. т., когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают 2 важных следствия.1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]