
- •3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Дифференциал функции
- •3.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
- •3.4. Формулы дифференцирования (таблица производных)
- •3.5. Правила дифференцирования
- •3.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.7. Дифференциальные теоремы о среднем
- •3.8. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •3.9. Формула Тейлора
- •Здесь многочлен
- •3.10. Условия монотонности и существования экстремума
- •3.11. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •3.12. Асимптоты Наклонные асимптоты
- •Вертикальные асимптоты.
- •3.13. Исследование функции и построение графика
3.13. Исследование функции и построение графика
1-шаг. Ищется область определения, область непрерывности и точки разрыва функции.
2-ой шаг. Функция исследуется на наличие наклонных и вертикальных асимптот.
3-ий шаг. С помощью производной первого порядка выявляются интервалы монотонности и точки локального экстремума функции.
4-ый шаг. С помощью производной второго порядка выявляются интервалы выпуклости функции, а также точки перегиба.
5-ый шаг. Стоится график.
Замечание. Описанные этапы 1–4 исследования позволяют качественно оценить поведение функции. Для более точного построения графика обычно ищут точки пересечения графика с осями, исследуют функцию на четность-нечетность, периодичность, выявляют интервалы, на которых функция сохраняет знак.
Задача. Исследовать функцию
и построить график.
Решение. Будем действовать в соответствии с приведенной выше схемой.
1-ый
шаг.
Функция определена и непрерывна на всей
числовой прямой, кроме точки
.
В точке
функция терпит разрыв.
2-ой шаг. Исследуем функцию на наличие асимптот.
2-ой шаг, пункт А. Зададимся вопросом, есть ли у функции наклонные асимптоты.
Исследуем
функцию при стремлении переменного
в
.
Вычислим предел
,
применив
дважды правило Лопиталя:
=
.
Следовательно, функция не имеет асимптоты при .
Исследуем
функцию при стремлении переменного
в
.
Вычислим предел
:
как предел отношения бесконечно малой к бесконечно большой.
Вычислим предел
при найденном
:
.
И здесь мы имеем дело с пределом отношения бесконечно малой к бесконечно большой.
Таким образом, при функция имеет асимптоту. Ее уравнение
.
Асимптота совпадает с осью переменного .
2-ой шаг, пункт Б. Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот. Функция имеет единственную точку разрыва, следовательно, может иметь разве что одну вертикальную асимптоту, определяемую этим разрывом. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва , вычислив односторонние пределы:
,
.
Здесь в обоих случаях
мы имеем дело с отношением ограниченной
положительной величины к бесконечно
малой. Слева от точки
разность
является бесконечно малой отрицательной,
справа от точки эта разность бесконечно
мала и положительна. Полученные предельные
соотношения указывают на наличие
вертикальной асимптоты. Ее уравнение
.
3-ий шаг. Найдем производную
.
Производная обращается
в нуль в точке
.
Точка
- критическая точка (первого рода)
функции. Для выявления интервалов
монотонности функции заполним таблицу:
|
|
2 |
|
3 |
|
|
- |
не существует |
- |
0 |
+ |
|
|
точка разрыва |
|
точка локального минимума |
|
|
1 |
|
Таким
образом, на интервалах
и
функция
строго убывает, а на интервале
она
строго возрастает .
Точка
является точкой строгого локального
минимума, причем локальный минимум
равен
.
Это значение указано в столбце, отвечающему
.
4-ый шаг. Найдем производную второго порядка
.
Найдем нули производной второго порядка, или критические точки второго рода:
.
Уравнение не имеет действительных корней. Стало быть, у функции нет точек перегиба. Для выявления интервалов выпуклости и интервалов вогнутости заполним таблицу:
|
|
|
|
|
– |
не существует |
+ |
|
|
точка разрыва |
|
Таким образом, функция вогнута на интервале и выпукла на интервале .
5-ый шаг. Построим график.