3.11. Выпуклость функции. Точки перегиба

Пусть функция определена на интервале . Выберем на интервале точки и , . Построим прямую, проходящую через точки и графика функции. Уравнение прямой

.

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на интервале , если для любых точек и из интервала , , и для любого [0; 1] выполняется неравенство

f ( x₁ +(1–) x₂)   f (x₁) + (1–) f (x₂), (1)

Если при [0; 1] неравенство (1) выполняется строго, то функцию называют строго выпуклой вниз на интервале .

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх на интервале , если для любых точек и из интервала , , и для любого [0; 1] выполняется неравенство

f ( x₁ +(1–) x₂)   f (x₁) + (1–) f (x₂), (2)

Если при [0; 1] неравенство (2) выполняется строго, то функцию называют строго выпуклой вверх на интервале .

Геометрически строгая выпуклость вниз (вверх) означает следующее. Хорда, соединяющая любые две точки графика функции на (a, b) расположена ниже (выше) соответствующей дуги графика.

Достаточные условия строгой выпуклости вниз. Если функция дважды дифференцируема на интервале , и производная второго порядка положительна во всех точках интервала, то функция строго выпукла на интервале .

Достаточные условия строгой выпуклости вверх. Если функция дважды дифференцируема на интервале , и производная второго порядка отрицательна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх на интервале .

Пусть функция определена в окрестности и, по крайней мере, один раз дифференцируема в точке . Обозначим

уравнение касательной, проходящей через точку .

Определение. Точка называется точкой перегиба функции , если в этой точке меняется характер выпуклости функции.

Необходимое условие существования точки перегиба. Если - точка перегиба дважды дифференцируемой функции , то производная второго порядка .

Достаточные условия существования точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема в окрестности точки , производная второго порядка меняет знак при переходе переменной через точку , то - точка перегиба функции.

3.12. Асимптоты Наклонные асимптоты

Определение. Пусть функция определена для всех (для всех ), где , и пусть существует такая прямая

,

что выполняется предельное соотношение

(соответственно ).

Тогда эта прямая называется наклонной асимптотой при (соответственно при ).

Коэффициенты и свободный член находятся согласно равенствам

, ( , ).

Вертикальные асимптоты.

Определение. Если для функции , определенной хотя бы с одной стороны от точки , выполняется по крайней мере одно из условий

или ,

то прямая, заданная уравнением

,

называется вертикальной асимптотой.

Задача. Найти асимптоты функции

.

Решение. Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.

1. Рассмотрим поведение функции при . Вычислим предел

1.

Найдем предел

,

подставив вычисленное значение :

1.

Таким образом, наклонная асимптота при найдена. Ее уравнение имеет вид

.

2. Рассмотрим поведение функции при . В данном случае нетрудно убедиться, что пределы и существуют и равны тем же значениям, т.е. и . Следовательно, при функция имеет ту же асимптоту, при . Ее уравнение

.

Исследуем теперь функцию на наличие вертикальных асимптот. Заметим, что из определения вертикальной асимптоты следует, что необходимым условием ее существования является разрыв функции. Рассматриваемая функция имеет разрыв в точке . Найдем односторонние пределы в точке разрыва:

,

.

Каждое из этих предельных соотношений указывает на наличие вертикальной асимптоты, определяемой уравнением

.

Знание асимптотических направлений упрощает построение графика функции.