
- •1.Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.
- •13.Интегрирование дифференциальных биномов
- •14. Понятие определённого интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.
- •29.Открытые и замкнутые множества в r2
- •36. Основные классы кривых
- •53.Достаточное условие дифференцируемости отображения в точке.
- •54. Производная по направлению.
- •55.Теорема Лагранжа оконечных приращениях
- •57.Локальный экстремум функций векторного аргумента. Необходимое условие.
- •58. Достаточное условие локального экстремума ф-ции вект. Аргумента (общий случай)
- •59. Теорема о существовании локального экстремума для функций двух переменных.
- •62.Условный экстремум. Необходимый и достаточный признаки существования.
- •63.Основные понятия числовых рядов.
- •64.Простейшие операции над рядами.
- •65. Критерий Коши и другие критерии сходимости для числовых рядов
- •66. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
- •69. Признаки Куммера и Раабе.
- •70. Признаки Бертрана и Гаусса.
69. Признаки Куммера и Раабе.
Т.(Пр-к
Куммера).Пусть ∑an-
знакаположительный ряд и
-некотор
посл-ть положит чисел, пусть далее
Kn=Cn
-Cn+1,n=1,2,…
перемен Куммера для ряда ∑an
постр по данной посл-ти (Cn),
тогда: 1)Если
такое δ>0, что начиная с некоторого
номера Kn
δ,
то ряд ∑an
сх-ся; 2)если начиная с некоторого номера
0
и при этом ∑
расх-ся, то ряд ∑an
также расх-ся.
Т.(Пр-к
Раабе).Пусть сущ-ет конечный или
предел R=lim
n(
-1),
тогда: 1)при R>1
ряд сх-ся; 2)при R<1
ряд расх-ся; 3)при R=1
необх дополн исслед ряда.
70. Признаки Бертрана и Гаусса.
Т.(Пр-к Бертрана).Пусть для знакоположительного ряда ∑an сущ-ет конечный или предел B=lim Bn, Bn=(Rn-1)ln n, где Rn –переменная Раабе, тогда: 1)при B>1 ряд сх-ся; 2)при B<1 ряд расх-ся; 3)при B=1 необх дополн исслед ряда.
Т.(Пр-к
Гаусса). Пусть ∑an-
знакаположительный ряд, пусть сущ-ют
λ и μ такие, что отношение
можно представить в виде:
=λ+
+O(
)
при n→+∞,
тогда ряд ∑an:
1)сх-ся, λ>1 или
;
2)расх-ся, λ<1
или
;
3)сомнительных случаев нет.
71. Абсолютная сходимость числового ряда.
О.
∑an
наз абсолютно сход-ся, если сх-ся ряд
∑|an|
сост из модулей членов данного ряда(т.к
|an
|=an
an
0,
то для рядов понятие сх-ти совпадает с
абсолютной сх-тью).
Т.Абсолютно сх-ся ряд ∑an сх-ся.
Т.Абсолютная сх-ть знакоперемен ряда равносильна сх-ти рядов, сост из его положительных и отрицательных членов.
72. Условная сходимость числового ряда.
О.Знакоперемен ряд ∑an наз условно сх-ся, если он сх-ся, но ряд из ∑|an| расх-ся.
Т.Если знакоперем ряд сх-ся условно, то ряды, сост из его положит и отриц чденов, расх-ся.
73. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочеред ряд можно представить в виде:∑(-1)n-1bn=b1-b2+b3-…
Т.(Пр-к
Лейбница)Пусть (bn)-посл-ть
положит чисел, монотонно →0, тогда:
1)знакочеред ряд сх-ся; 2)модуль любого
остатка не превосходится модуля 1ого
члена остатка: |∑(-1)n-1bn
|
bn,
nєN.
74. Преобразование Абеля. Неравенство Абеля. Следствие.
Т.(Преобраз
Абеля) Для любых конечных посл-тей
и
справедливы рав-ва:
kbk=Anbn+
Ak,
где Ак=a1+…+ak.
Т.(Нер-во
Абеля)Пусть
-конечн
убыв посл-ть полож чисел, или возраст
посл отриц чисел, а для конечного числа
посл-ти
,
постоян А такова, что |Ak|=|a1+…+ak|
,
k=1,…,n,
тогда справедливо нер-во: |∑akbk|
A*|b1|
75. Признаки Дирихле и Абеля для числовых рядов.
Т.(Пр-к Дирахле) Ряд ∑akbk сх-ся, если вып усл:1)Частичные суммы ряда ∑ak ограничены в совокупности; 2)посл-ть монотонно →0.
Т.(Пр-к Абеля) Ряд ∑akbk сх-ся, если вып усл: 1)ряд ∑ak сх-ся; 2) монтон и огранич.
76. Перестановки членов абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема Римана.
О.Принято говорить, ∑bn получ из исход ряда ∑an перестановками членов, если сущ-ет биективное отображение φ:N→N, такое что для любого kєN:bk=an, где k=φ(n).
Т.Если ∑an сх абсолютно, то ряд ∑bk, получ из исход перестановкой членов также сх-ся абсолютно к той же самой сумме.
Т.(Римана об усл сх-ти). Сущ-ет такая перестановка членов усл сх-ся ряда, что либо он окажется расх-ся, либо сумма получ ряда равна любому наперёд заданному числу, или .