11. Нормальное распределение

Значения показателей (признаков) невозможно предугадать даже при полностью известных условиях эксперимента, в которых они измеряются.

Мы можем лишь указать вероятность того, что признак принимает то или иное значение.

Знание частоты встречаемости этих значений позволяет нам судить о распределении частот. Знание этого распределения исследуемого признака позволяет делать выводы о событиях, в которых участвует этот признак. Однако эти выводы тоже носят вероятностный или столастический характер.

Среди распределений есть такие распределения, которые встречаются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны.

Наиболее распространенным распределением является нормальное распределение. Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, в которых на интересующий нас признак оказывает воздействие большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет резко выделяющихся.

Нормальное распределение однозначно распределяется, если мы указываем значения двух его параметров: 1) среднее значение а; 2) дисперсии

2

( сигма). График нормального распределения называется кривой Гаусса и является симметричным относительно среднего значения а.

2

В ысота опред. , площадь под

2

кривой = 1. зависит от ширины.

а

Параметр а характеризует положение графика на плоскости и

2

называется поэтому параметром положения. Параметр характеризует степень сжатия или растяжения, поэтому он называется параметром

2

масштаба. Если среднее значение а=0, а дисперсия =1, то такое нормальное распределение называется стандартным. Рассмотренная в предыдущем параграфе процедура стандартизации исходных данных как раз и приводит к тому, что преобразованные данные z1, z2, …, zn имеют стандартное нормальное распределение.

График стандартного нормального распределения является симметричным относительно вертикальной координатной оси.

0

При обработке исходных данных иногда осуществляются преобразования с помощью арифметических операций. В результате этого возникает несколько новых видов распределения, связанных с нормальным.

Наиболее часто из таких распределений в статистике

2

рассматриваются следующие: 1) Х - распределение (хи-квадрат); 2) t – распределение Стьюдента; 3) F – распределение Фишера.

2

Х - распределение.

Оно определяется как сумма квадратов случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение.

2 2 2 2

Хn = Z1 + Z2 + ... +Zn

2

Х - распределение зависит от одного параметра, который называется числом степени свободы и обычно обозначается (ню). Этот параметр равен количеству суммируемых случайных величин.

=n

2

График Х распределения не является симметричным и расположен в положительной полуплоскости.

2

Среднее значение Х -распределения равно числу степен свободы (ню), а дисперсия равна 2 .

t – распределение Стьюдента.

Оно получается в результате деления частной величины, имеющей стандартное нормальное распределение на квадратный корень из случайной

2

величины, имеющей Х – распределение.

2

t = Z0: X :

t – распределение Стьюдента зависит от одного параметра – числа степеней свободы .

График этого распределения является симметричным относительно координатной вертикальной оси.

Е сли > 30, то распределение Стьюдента практически не отличается от стандартного нормального распределения.

0

F – распределение Фишера. 2

Оно получается путем деления случайной величины, имеющей Х – распределение с числом степеней свободы 1 на случайную величину,

2

имеющую Х – распределение с числом степеней свободы 2.

2 2 2 2

F 1, 2 = (X 1: 1) : (X 2: 2) = ( 2 X 1) : ( 1 X 2)

F – распределение Фишера зависит от двух параметров: 1, 2.

График F – распределения не является симметричным и имеет вид :

Рассмотренные выше четыре распределения протабулированы, т.е. для них имеются соответствующие статистические таблицы.