23. Анализ взаимосвязи ранжированных признаков

Для анализа взаимосвязи ранжированных признаков вычисляют коэффициент ранговой корреляции (КРК). Для его вычисления необходимо располагать двумя выборками, элементы которых могут быть проранжированы. Такими выборками могут быть:

1. два признака, измеренные для одной и той же группы испытуемых.

2. Две индивидуальных иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых лиц по одному и тому же набору признаков. Например: личностные профили по 16-тифакторному опроснику Кеттела.

3. Две групповые иерархии признаков.

4. Индивидуальная и групповая иерархия признаков.

Рассмотрим случай №1. Сначала ранжируются элементы первой выборки, а затем второй. Обычно ранг, равный 1, присваивается элементу выборки, имеющему наименьшее значение. Если рассматриваемые два признака связаны положительно, то лица, имеющие низкие ранги по одному признаку, будут иметь более низкие значения и по второму признаку. Аналогично и для высоких рангов.

Для нахождения КРК Спирмена мы должны сначала вычислить разности между рангами для одного и того же лица, затем определенным образом преобразовать эти разницы и вычесть из 1. Чем меньше будут разности, тем больше будет КРК и тем ближе он будет к +1. Если же корреляция отсутствует, то в этом случае ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия, а сам КРК будет близок к 0.

В случае отрицательной корреляции небольшим рангам по первому признаку будут соответствовать большие ранги по второму признаку и наоборот. В этом случае разности между рангами будут большие и КРК будет близок к –1.

Рассмотрим случай №2. В этом случае ранжируются значения, полученные каждым из двух испытуемых лиц по определенному одинаковому набору признаков. Все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. В таких ситуациях, когда разные единицы, обычно сначала «сырые» баллы должны быть приведены к одной шкале (диапазону). Чаще всего это шкала – стены.

Рассмотрим случай №3. В этом случае сначала вычисляется среднее значение каждого признака отдельно по каждой группе, после чего они ранжируются. В результате этот случай сводится к №2.

Рассмотрим случай №4 (индивидуальные и групповые профили). В этом случае сначала вычисляется среднее значение каждого признака по группе лиц, причем как правило при расчете показатели лица, сопоставленного с группой из расчета среднего значения исключаются. После этого ранжируются отдельно значения индивидуального профиля и средние групповые значения. В этом случае ранговая корреляция позволяет проверить, насколько согласованы индивидуальные и групповые профили. В случае положительной корреляции это означает, что рассматриваемое лицо такое как и все. В случае же отрицательной корреляции получаются противопоставления в группе. При проверке значимости КРК важно обращать внимание на то, что выступает в качестве n. В первом случае это будет количество лиц, а во втором, третьем и четвертом – количество признаков, образующих иерархию.

Корреляционную ранговую связь можно изобразить графически. В этом случае данные изображаются в виде двух столбцов точек, после чего одинаковые значения рангов соединяются линией. В случае, если ранги для одного и того же человека по двум признакам совпадают, то между ними получится горизонтальная линия. Если же ранги различны, то линия становится наклонной.

rs = +1 rs = 0 rs = - 1

Алгоритм вычисления КРК Спирмена.

1. Определяем, какие два признака или две иерархии признаков будут выступать в качестве переменных х и у.

2. Ранжируем значения переменной х, присваивая ранг = 1 наименьшему значению. Присвоенные ранги заносим в первый столбец результирующей таблицы.

3. Аналогично ранжируем значения переменной у, после чего полученные ранги заносим во второй столбец таблицы.

4. Вычисляем разность d между рангами по каждой строке и полученные результаты заносим в третий столбец таблицы.

di = xi – yi

5. Возводим каждую разность в квадрат и полученные результаты помещаем в четвертый столбец таблицы.

6. Вычисляем сумму квадратов разности, т.е. сумму элементов четвертого столбца.

7. При наличии одинаковых рангов вычисляем поправки Тх и Ту к сумме квадратов разности. k 3

Тх = (аi – ai) : 12, где k –количество групп

i-1

совпадающих рангов по переменной х; ai – количество значений в i (итой) группе совпадений. 1 4

2,5 1 6 3

2,5 6 2 k =2; a1 = 2; a2 = 3; Tx = ((2 – 2) +

6 3

(3 – 3)) : 12

m 3

Ty = (bi – bi) : 12, где m – количество групп совпадающих рангов по

i=1 переменной у; bi – количество значений в i-той группе совпадений. Если же совпадений нет, то полагаем, что Тх = 0 и Ту = 0.

8. Вычисляем КРК Спирмена по следующей формуле:

n 2 2

rs = 1 – 6 (( di + Tx + Ty) : n(n – 1))

i=1

Пример 1. Корреляция между двумя признаками. В исследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера, группа испытуемых проходила подготовку на тренажере перед началом работы. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии с показателем невербального интеллекта, измеренного с помощью методики Векслера?

Решение.

Количество ошибок (х)	Невербальный интеллект (у)	Ранги по х	Ранги по у	Разность между рангами d	2 d
29 54 13 8 14 26 9 20 2 17	106 90 95 116 127 107 104 102 111 99	9 10 4 2 5 8 3 7 1 6	6 1 2 9 10 7 5 4 8 3	3 9 2 -7 -5 1 -2 3 -7 3	9 81 4 49 25 1 4 9 49 9
					240

Тх = 0 Ту = 0 (совпадений нет) n = 10 (чел.)

2

rs = 1 – 6 ((240+0+0) : 10 (10 – 1)) = -0,455. Отсюда видно, что между количеством ошибок и невербальным интеллектом имеется отрицательная умеренная корреляционная связь. Корреляция между двумя групповыми иерархиями (случай №3).

Джозеф Вольпе в книге, написанной совместно с сыном, приводит упорядоченный перечень из наиболее часто встречающихся у современного человека «бесполезных страхов», т.е. таких, которые не несут сигнального значения, а лишь мешают полноценно жить и действовать.

В отечественном исследовании, проведенном М.Э. Раховой, 32 испытуемых должны были по 10-бальной шкале оценить, насколько актуальным для них является тот или иной вид страха из перечня Вольпе.

Обследуемая выборка состояла из студентов Санкт-Петербурга в возрасте от 18 до 25 лет. Данные, полученные по 10-бальной шкале, были усреднены по 32 испытуемым, после чего средние значения были проранжированы. Совпадает ли ранговая последовательность двадцати видов страхов?

Были получены следующие результаты:

№	Вид страха	Ранги в американской выборке	Ранги в российской выборке	Разность d между рангами	2 d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	Публичного выступления Полета Совершить ошибку Неудачи Неодобрения Отвержения Злых людей Одиночества Крови Открытых ран Дантиста Уколов Прохождения тестов Полиции Высоты Собак Пауков Покалеченных людей Больниц Темноты	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	7 12 10 6 9 2 5 1 16 13 3 19 20 17 4 11 18 8 15 14	-6 -10 -7 -2 -4 4 2 7 -7 -3 8 -7 -7 -3 11 5 -1 10 4 6	36 100 49 4 16 16 4 49 49 9 64 49 49 9 121 25 1 100 16 36
					802

Тх = 0 Ту = 0 n = 20 (строки, а не люди)

2

Rs = 1 – 6 ((802+0+0) : (20 (20 – 1))) = 0,397. Отсюда видно, что между ранговыми последовательностями имеется положительная умеренная корреляционная связь.

Значимость КРК Спирмена.

Для КРК проверка значимости полностью аналогична проверке значимости КРК Пирсона (см. параграф 22).

Осуществим проверку значимости найденных в вышерассмотренных примерах КРК.

rs = -0,455 n = 10 = 0,65

2 2

tнабл. = n – 2 (rs : 1 – rs ) = 10 – 2 (-0,455 : 1 – (-0,455) ) = -1,466

/2 = 0,05/2 = 0,025 = n – 2 = 10 – 2 = 8 tкр = 2,306

Н0

-2,306 -1,466 2,306

-tкр < tнабл. < tкр , то мы должны принимать гипотезу Н0, т.е. делаем вывод о том, что на уровне значимости 0,05 КРК Спирмена равен 0, т.е. не является значимым. В результате получаем окончательный вывод о том, что между количеством ошибок на тренажере и невербальным интеллектом корреляционной связи нет.