- •В. Л. Федоров, а. В. Бубнов теория автоматического управления
- •Введение
- •1. Основные понятия теории автоматического управления
- •1.1. Классификация объектов управления
- •1.2. Принципы автоматического управления
- •1.2.1. Разомкнутые сау (принцип разомкнутого управления)
- •1.2.2. Принцип компенсации (управление по возмущению)
- •1.2.3. Принцип обратной связи. Регулирование по отклонению
- •1.2.4. Комбинированное управление (сочетание принципов замкнутой и разомкнутой систем)
- •1.3. Понятие о качестве систем автоматического управления
- •1.4.5. Классификация по свойствам объекта управления и регулятора
- •1.4.6. Классификация по идеализации математического описания
- •1.4.7. Классификация по количеству регулируемых величин
- •1.4.8. Классификация по свойствам в установившемся режиме (величине ошибки регулирования)
- •1.5. Типовая функциональная схема сау
- •2. Линейные системы автоматического управления
- •2.1. Передаточные функции
- •2.2. Частотные характеристики
- •2.3. Логарифмические частотные характеристики
- •2.4. Типовые динамические звенья сау
- •2.4.1. Усилительное звено (идеальное усилительное, безынерционное, пропорциональное)
- •2.4.2. Апериодическое звено (инерционное, апериодическое первого порядка)
- •2.4.3. Интегрирующее звено
- •2.4.4. Дифференцирующее звено (идеальное дифференцирующее звено)
- •2.4.5. Форсирующее звено (форсирующее звено первого порядка)
- •2.4.6. Реальное дифференцирующее звено (не типовое звено)
- •2.4.7. Колебательное звено
- •2.4.8. Звено чистого запаздывания
- •2.5. Структурные схемы сау
- •2.5.1. Правила преобразования структурных схем
- •2.6. Передаточные функции замкнутой сау по задающему воздействию и возмущению
- •2.7. Построение логарифмических характеристик сау
- •2.8. Устойчивость линейных сау
- •2.8.1. Критерий устойчивости Гурвица
- •2.8.2. Критерий устойчивости Найквиста
- •2.8.3. Логарифмический критерий устойчивости
- •2.8.4. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе
- •2.9. Точность сау в установившихся режимах
- •2.9.1. Точность сау в статическом стационарном режиме
- •2.9.1.2. Система управления с регулятором вида
- •2.9.2. Точность сау в динамическом стационарном режиме
- •2.9.3. Коэффициенты ошибок
- •2.9.4. Определение установившейся ошибки при движении сау по гармоническому закону
- •2.10. Повышение статической точности сау
- •2.10.1. Повышение коэффициента передачи k разомкнутой цепи
- •2.10.2. Повышение порядка астатизма сау
- •2.11. Синтез систем автоматического управления
- •2.11.1. Основные этапы синтеза сау.
- •2.11.2. Частотный синтез. Типовые лах
- •2.11.3. Выбор желаемой типовой лах
- •2.11.4. Связь параметров типовых лах между собой и с показателями качества переходного процесса
- •2.11.5. Определение передаточной функции корректирующего устройства
- •2.11.6. Пример синтеза сау
- •2.12. Корректирующие устройства сау
- •2.12.1. Виды корректирующих устройств
- •Библиографический список
- •Содержание
- •2. Линейные системы автоматического управления 24
2.4.1. Усилительное звено (идеальное усилительное, безынерционное, пропорциональное)
Передаточная функция усилительного звена
, (2.10)
где k – коэффициент передачи усилительного звена.
2.4.1.1. Реализация с применением пассивных элементов. В качестве примера можно привести делитель напряжения на резисторах (рис. 2.6).
Рисунок 2.6
Передаточная функция устройства (рис. 2.6)
. (2.11)
2.4.1.2. Реализация с применением активных элементов (операционных усилителей). С помощью операционных усилителей возможна реализация устройств, выполняющих разнообразные математические операции. Широкое применение получили схемы вида (рис. 2.7), особенностью которых является инвертирование знака выходного сигнала по отношению к входному.
Рисунок 2.7
Элементы , (см. рис. 2.7)– это комплексные сопротивления прямой цепи и цепи обратной связи соответственно. Передаточные функции устройств вида (см. рис. 2.7) определяются по общему правилу как отношение операторного сопротивления цепи обратной связи к операторному сопротивлению прямой цепи:
. (2.12)
В выражении (2.12) знак «минус» учитывает инвертирование входного сигнала.
Усилительное звено может быть получено из схемы на рисунке 2.7, если в прямой цепи и цепи обратной связи использовать активные сопротивления (рис. 2.8).
Рисунок 2.8
На основании правила (2.12) передаточная функция этого инвертирующего усилителя
. (2.13)
2.4.1.3. Переходная характеристика. Поскольку данное звено является безынерционным, то переходная характеристика (рис. 2.9) повторяет по форме единичную ступенчатую функцию
. (2.14)
Рисунок 2.9
2.4.1.4. Частотные характеристики. Так как передаточная функция (2.10) не зависит от оператора p, то частотная передаточная функция не зависит от частоты :
. (2.15)
Перепишем формулу (2.15) в виде
. (2.16)
Сравнивая формулы (2.16) и (2.4), получим выражения для АЧХ и ФЧХ, а также действительной и мнимой частей АФЧХ
, (2.17)
, (2.18)
, (2.19)
. (2.20)
Графики частотных характеристик приведены на рисунке 2.10.
Рисунок 2.10
2.4.1.5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. На основании формул (2.6) и (2.17) выражение для ЛАХ рассматриваемого звена имеет вид
. (2.21)
График ЛАХ приведен на рисунке 2.11.
Рисунок 2.11
2.4.2. Апериодическое звено (инерционное, апериодическое первого порядка)
Передаточная функция
, (2.22)
где – коэффициент передачи и постоянная времени апериодического звена.
2.4.2.1. Реализация с применением пассивных элементов. В качестве примера можно привести активно-емкостный делитель напряжения (рис. 2.12).
Рисунок 2.12
Его передаточная функция
. (2.23)
Сравнивая выражения (2.23) и (2.22), получим , .
2.4.2.2. Реализация с применением активных элементов. В качестве примера можно привести цепь, изображенную на рисунке 2.13.
Рисунок 2.13
На основании правила (2.12) передаточная функция этого устройства
. (2.24)
Сравнивая выражения (2.24) и (2.22), получим , .
2.4.2.3. Переходная характеристика. График переходной характеристики (рис. 2.14) определяется формулой
. (2.25)
Рисунок 2.14
2.4.2.4. Частотные характеристики. Частотная передаточная функция апериодического звена получается путем замены в формуле (2.22):
. (2.26)
После проведения промежуточных преобразований представим формулу (2.26) в показательной и алгебраической формах записи:
, (2.27)
. (2.28)
Сравнивая формулы (2.27), (2.28) и (2.4), получим выражения для АЧХ и ФЧХ, а также действительной и мнимой частей АФЧХ
, (2.29)
, (2.30)
, (2.31)
. (2.32)
Графики частотных характеристик приведены на рисунке 2.15.
Рисунок 2.15
2.4.2.5. Логарифмические частотные характеристики. На основании формул (2.6) и (2.29) выражение для ЛАЧХ рассматриваемого звена имеет вид
. (2.33)
Построим приближенную (асимптотическую) ЛАЧХ, состоящую из отрезков прямых линий (асимптот). Для этого на ось абсцисс сначала наносят отметку так называемой сопрягающей частоты (рис. 2.16)
. (2.34)
В области малых частот выражение (2.33) принимает вид
. (2.35)
Формула (2.35) есть уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (первая асимптота).
В области больших частот выражение (2.33) принимает вид
. (2.36)
Очевидно, что вторая асимптота (2.36) есть прямая с отрицательным наклоном, проходящая через точку с координатами .
Графики ЛАЧХ (истинной и асимптотической) и ЛФЧХ приведены на рисунке 2.16.
Рисунок 2.16
Определим «приращение» второй асимптоты ЛАХ на декаду:
,
или
.
Максимальное отклонение истинной ЛАХ (2.33) от асимптотической (рис. 2.16) имеет место на сопрягающей частоте :
дБ.