2.9.3. Коэффициенты ошибок
Если функция дифференцируема и после окончания переходного процесса существенное значение имеет только конечное число i ее производных, то установившуюся ошибку можно определить следующим образом.
Положим
для простоты, что возмущающее воздействие
отсутствует
.
В соответствии с выражением (2.126) запишем
изображение ошибки:
.
(2.218)
Разложим
передаточную функцию замкнутой системы
относительно ошибки по задающему
воздействию
в ряд Тэйлора, тогда выражение (2.218)
принимает вид
,
(2.219)
где
,
,
…,
– коэффициенты ошибок.
Переходя от изображения ошибки (2.219) к оригиналу, получим
.
(2.220)
Коэффициенты ошибок можно определить следующими способами.
I. Воспользоваться известными формулами:
;
(2.221)
;
(2.222)
;
(2.223)
……………………..;
.
(2.224)
Рассмотрим в качестве примера простейшую САУ, структурная схема которой приведена на рисунке 2.83.
Рисунок 2.83
Передаточная функция прямой цепи рассматриваемой системы
.
(2.225)
Тогда передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по задающему воздействию имеет вид
.
(2.226)
Определим
коэффициенты
,
,
.
Согласно выражению (2.221), величина
будет
.
(2.227)
Для расчета коэффициента возьмем первую производную от передаточной функции (2.226):
.
(2.228)
В соответствии с формулой (2.213) коэффициент будет
.
(2.229)
Для определения коэффициента возьмем вторую производную от передаточной функции (2.226):
.
(2.230)
Тогда на основании формулы (2.223) коэффициент будет
.
(2.231)
II.
Если
является дробно-рациональной функцией
вида (2.3), то ее разложение в ряд Тэйлора
с последующим выделением коэффициентов
ошибок можно осуществить простым
делением полинома числителя на полином
знаменателя, располагая члены полиномов
в порядке возрастания степеней.
Разделим полином числителя (2.226) на полином знаменателя:
(2.232)
Сравнивая (2.232) и (2.219), получим
,
(2.233)
, (2.234)
.
(2.235)
Из формулы (2.235) следует
. (2.236)
Покажем,
как можно определить
с помощью коэффициентов ошибок на
примере САУ (см. рис. 2.83).
Пусть на вход системы подается задающее воздействие вида
.
(2.237)
В соответствии с формулой (2.220) необходимо взять первую производную от задающего воздействия (2.237)
.
(2.238)
Тогда, согласно формуле (2.220), величина установившейся ошибки
,
(2.239)
или
.
(2.240)
Учитывая выражения (2.233) и (2.234), окончательно получим
.
(2.241)
Полученный
результат подтверждает вывод, сделанный
в пп. 2.9.2: если
степень временной функции задающего
воздействия
m
(в рассмотренном
примере m
= 1) больше
порядка астатизма системы
(
),
то с течением времени ошибка неограниченно
возрастает:
.
Так,
на рисунке 2.84 приведены графики изменения
во времени задающего воздействия
(2.237), выходной величины
и ошибки регулирования
в системе (см. рис. 2.83).
Рисунок 2.84
Данное
обстоятельство (неограниченный рост
ошибки при
)
необходимо учитывать при проектировании
систем управления соответствующим
выбором порядка астатизма САУ.
Отметим, что результат вычисления установившейся ошибки с помощью формулы (2.220) справедлив только после окончания переходного процесса в системе (рис. 2.85).
Рисунок 2.85