Визначений інтеграл

11. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла

12. Властивості визначеного інтеграла

13. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначених інтегралів

14. Застосування визначеного інтеграла

1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення та умови існування визначеного інтеграла

Нехай на відрізку задано функцію . Фігура, обмежена графіком даної функції і відрізками прямих , називається криволінійною трапецією. Обчислимо площу цієї трапеції.

Розіб’ємо відрізок на довільних частин точками:

.

Сукупність точок позначимо через Т і назвемо Т–розбиттям відрізка .

На кожному частинному відрізку , візьмемо довільну точку і обчислимо значення . Тоді добуток , де - довжина відрізка дорівнює площі прямокутника з основою і висотою , а сума цих добутків (1) – площа ступінчатої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції:

. (2)

Сума (1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає Т-розбиттю відрізка на частинні відрізки і даному вибору точок .

Із зменшенням усіх величин точність формули (2) збільшується, тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля:

.

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (1) при , яка не залежить ні від Т–розбиття, ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом .

Отже, згідно з означенням: .

Функція називається інтегрованою на відрізку . Числа називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; – підінтегральним виразом; – змінною інтегрування; – проміжком інтегрування.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції . У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Умови інтегрованості функцій:

Теорема 1 (необхідна умова інтегровності)

Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2 (достатня умова інтегровності)

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

Теорема 3

Якщо функція обмежена на відрізку і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, то вона інтегровна на цьому відрізку.

Теорема 4

Всяка обмежена і монотонна на відрізку функція інтегровна на цьому відрізку.

2. Властивості визначеного інтеграла

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

3. Від перестановки меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

.

4. Якщо функція інтегровна на максимальному з відрізків , то справедлива рівність:

.

5. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла:

.

6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

.

7. Якщо всюди на відрізку маємо , то .

8. Якщо всюди на відрізку маємо , то .

9. Якщо функція інтегровна на відрізку , то .

10. Якщо , то .

11. Якщо і - відповідно найбільше і найменше значення функції на відрізку , то

.

12. Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку знайдеться така точка , що .

3. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначених інтегралів

Теорема.

Якщо є якою-небудь первісною від неперервної функції , то справедлива формула

.

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Методи обчислення визначених інтегралів:

1. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Теорема 1

Нехай виконуються умови:

1. функція неперервна на відрізку ;

2. функція і її похідна неперервні на відрізку ;

3. і .

Тоді справджується рівність

.

2. Метод інтегрування частинами

Теорема 2

Якщо функції мають на відрізку неперервні похідні, то справедлива формула

.

Ця формула називається формулою інтегрування частинами.

4. Застосування визначеного інтеграла

1. Обчислення площ плоских фігур .

2. Довжина дуги .

3. Об’єм тіла , де - площа перерізу.

4. Об’єм тіла обертання .

5. Площа поверхні обертання .