Диференціальне числення функції багатьох змінних

4. Функція багатьох змінних, її границя та неперервність

5. Частинні похідні

6. Диференційовність функції

7. Повний диференціал функції. Диференціали вищих порядків

8. Похідна складеної функції. Повна похідна

1. Функція багатьох змінних, її границя та неперервність

Нехай задано множину упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і та записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар значень та , для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають або .

Множину значень позначають або .

Значення функції в точці позначають або , або .

Лінію, що обмежує область , називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називають внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки, називається відкритою. Якщо до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Графіком функції в прямокутній системі називається геометричне місце точок , проекція яких належить області . Це геометричне місце точок в тривимірному просторі певну поверхню, проекція якої на площину є множина .

Нехай функція задана в деякій області і точка або , але має таку властивість, що в довільному околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини , відмінна від .

Означення за Гейне. Число називається границею функції в точці , якщо для довільної, збіжної до послідовності точок , відповідна послідовність значень функції збігається до числа . Записують або .

Означення за Коші. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке, що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Функція називається неперервною в точці , якщо .

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в яких неперервність порушується – точками розриву цієї функції.

2. Частинні похідні

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною так, щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів .

– частинні похідні по в точці .

Аналогічно частинна похідна функції по змінній визначається як границя і позначається одним із символів .

Правило знаходження частинних похідних

При знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Тому частинні похідні знаходяться за формулами і правилами обчислень похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі .

Геометричний зміст частинної похідної: , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Аналогічно, , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці .

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних , де ,

.

Щоб знайти частинну похідну , треба знайти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають .

Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають .

Для функції двох змінних розглядають чотири похідні другого порядку .

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім:

.

Теорема (про мішані похідні)

Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , причому та неперервні в точці , то в цій точці .

Приклад. Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції .

3. Диференційовність функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :

.

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

,

де – дійсні числа, які не залежать від ,

– нескінченно малі функції при .

Властивості функції двох змінних:

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції)

Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .

Теорема 3 (достатні умови диференційовності)

Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в точці .

Наслідок (з теореми 2 і теореми 3)

Щоб функція була диференційовною в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні похідні.

4. Повний диференціал функції. Диференціали вищих порядків

Якщо функція диференційовна в точці , то її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де при .

Повним диференціалом диференційовною в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці , тобто .

Диференціалами незалежних змінних та назвемо прирости цих змінних , тоді повний диференціал можна записати:

Приклад 1. Знайти повний диференціал функції .

Повний диференціал функції називають диференціалом першого порядку.

Диференціал другого порядку визначають за формулою .

Тоді, якщо функція має неперервні частинні похідні, то

або .

Символічно це записують .

Диференціал третього порядку .

Диференціал порядку .

Приклад 2. Знайти диференціал другого порядку функції .

5. Похідна складеної функції. Повна похідна

Нехай – функція двох змінних та , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , тоді функція є складеною функцією змінної .

Теорема (похідна складеної функції)

Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція також диференційовна в точці . Похідну цієї функції знаходять за формулою .

Якщо , де ,то .

Якщо , а , то , а оскільки , то – формула для обчислення повної похідної.

Приклад 3. Знайти функції , якщо .

Розглянемо загальний випадок. Нехай – функція двох змінних та , які, в свою чергу, залежать від змінних та : , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а змінні та – проміжні.

Теорема

Якщо функції та диференційовні в точці , а складена функція диференційовна в точці , то складена функція диференційовна в точці , і її частинні похідні знаходяться за формулами:

, .