Диференціальні рівняння першого порядку

15. Основні поняття про диференціальні рівняння першого порядку

16. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

17. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

18. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

1. Основні поняття про диференціальні рівняння. Задача Коші

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

,

яке зв’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну .

Рівняння може не містити явно або , але обов’язково має містити похідну .

Диференціальне рівняння , нерозв’язане відносно похідної називається неявним.

Якщо рівняння можна розв’язати відносно , то його записують у вигляді

і називають рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної.

Рівняння можна записати

,

де – відомі функції. Змінні в рівняння рівноправні.

Знаходження невідомої функції, що входить у диференціальне рівняння називається розв’язанням або інтегруванням цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння обертає його в тотожність по на , тобто

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

Теорема Коші (про існування і єдиність розв’язку)

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області площини і точка . Тоді існує єдиний розв’язок рівняння , який задовольняє умову при , тобто .

Задача знаходження розв’язку рівняння , який задовольняє початкову умову або називається задачею Коші.

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої називається загальним розв’язком рівняння в області , якщо вона задовольняє умови:

1. функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні з деякої множини;

2. для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову .

Частинним розв’язок рівняння називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено у неявному вигляді, тобто , то його називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Рівність називається частинним інтегралом диференціального рівняння.

2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Рівняння виду , де - задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Диференціальне рівняння виду , в якому множник при є функцією яка залежить лише від , а множник при є функцією, яка залежить лише від , називається диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розглянемо рівняння

,

де - задані числа.

Введемо заміну: .

Підставимо у рівняння :

Інтегруючи це рівняння і замінюючи на , дістанемо загальний інтеграл рівняння .

Приклад 2. Розв’язати рівняння

3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Функція називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних та , якщо для довільного числа виконується тотожність

1) – однорідна функція другого виміру,

.

2) – однорідна функція нульового виміру,

.

Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру.

Однорідні рівняння зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою , де – невідома функція.

Розв’язавши рівняння , знайдемо , а потім функцію .

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розглянемо рівняння, які можна звести до однорідних

Можливі такі випадки:

1. якщо , то підстановкою рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними;

2. якщо , то заміна , і , отримаємо однорідне рівняння.

Приклад 4. Розв’язати рівняння

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду ,

де – задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Метод Бернуллі

Розв’язок рівняння шукають у вигляді добутку , де – невідомі функції.

Підставимо похідну у рівняння :

Візьмемо функцію з умови

Візьмемо функцію з умови

Знайдемо функцію

Приклад 5. Розв’язати рівняння .

53