2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.

Введение начинается с целесообразно подобранной задачи. Например: извлечение квадратного корня из положительного числа, не являющегося полным квадратом; каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1; чему равна сторона квадрата, если известно, что его площадь равна 3.

Практические задачи: задачи измерения; каждой ли точке координатной прямой соответствует рац число?

Изображение чисел на координатной прямой

Рис

Покажем, что т. В’ соответствует числу, не явл рацион, т. к. диагональ квадрата ОВ несоизмерима с его стороной ОА

Д-во, что т. В не соотв. никакому рац числу

Т. к. т. В’ находится на ОХ,

От противного: пусть – несократимая дробь. Обе части – неотрицательны, возведем в квадрат, получим: , , => – четное, => – четное. Значит можно представить в виде . Подставим в :

=> , => – четное, – четное. Тогда имеем – четные. Это противоречит тому, что – несократимая дробь. => => не является рациональным числом.

Таким образом, число можно изобразить на координатной прямой некоторым числом, которое не является рациональным. Такие числа называются иррациональными.

2 подход

Рис

С другой стороны .

Если натуральное число не есть квадрат некоторого натурального числа, то оно есть квадрат иррационального числа. Таким образом, – иррациональное число.

3 подход

Иррациональные числа – есть бесконечные десятичные непериодические дроби. Так как нельзя извлечь нацело есть бесконечная десятичная непериодическая дробь есть число иррациональное.

4 подход

Рассмотрим приближенное значение с недостатком и с избытком:

С недостатком: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142

С избытком: 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143

Объединим эти последовательности: 1,4< 1,41< 1,414 <1,4142 < < 1,4143 < 1,415 < 1,42 < 1,5

Докажем, что границей или пределом последовательностей является некоторое иррациональное число.

Пусть границей явл , с другой стороны границей явл несократимая дробь .

Таким образом, на границе последовательности, представляющей квадраты членов, последовательности приближений с недостатком и с избытком находится с одной стороны число 2, а с другой - , причем => данную последовательность определяют два числа, не равные между собой, а это невозможно => последовательности определяют единственное число .

Действия над иррациональными числами

1) сравнение (можно как десятичные дроби, сравнивая кол-во единиц в соответствующих разрядах, можно как квадраты корней)

2) сложение, вычитание, умножение, деление (нельзя выполнять как с десятичными дробями)

Часто иррациональные числа как бесконечные десятичные дроби заменяют их приближенными значениями, и результаты действий находят по правилам приближенных значений.

2.14 Методика изучения процентов. Основные задачи на проценты в школьном курсе математики.

15. Методика изучения тождественных преобразований.

2.16 Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.

2.17 Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.

2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.

2.19 Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.

Изучение курса 9 класса начинается с обобщения и систематизации знаний о действительных числах: повторяются известные учащимся термины, рассматриваются отношения между числовыми множествами. Далее формулируются свойства числовых неравенств. Решение линейных неравенств с одной переменной сопровождается введением понятия равносильных уравнений и неравенств, формулировкой свойств равносильности уравнений и неравенств. Практические навыки получают развитие при решении систем линейных неравенств с одной переменной. Рассматривается также вопрос о доказательстве неравенств, учащиеся знакомятся с некоторыми приемами доказательства неравенств и применяют их в ходе решения несложных задач.

Пусть функции f (x) и g (x) заданы на некоторых числовых множествах X1 и X2. Неравенством с одной неизвестной называется отношение вида f (x) < g (x). (1)

(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Областью допустимых значений неравенства (ОДЗ) называется множество значений переменной, на котором обе части неравенства одновременно определены (имеют смысл). Таким образом,

то есть пересечение множеств X1 и X2.

Число a называется решением неравенства (1), если при подстановке его вместо переменной x получаем верное числовое неравенство f (a) < g (a).

Понятно, что a, являясь решением неравенства (1), может лежать только в ОДЗ.

Поскольку проверить решение в неравенствах не так просто, как в уравнениях, искать решения лучше сразу в ОДЗ.

Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.

Два неравенства,

f (x) <g (x) (2) и f1 (x) <g1 (x), (3)

называются равносильными на множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же решения, то есть, если каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (3), и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо множестве, также считаются равносильными на этом множестве.

Из приведённого определения следует, что если неравенство f1 (x) < g1 (x) окажется более простым, чем равносильное ему неравенство f (x) < g (x), то и решать нужно именно его, так как решения у него те же. Остаётся единственная проблема: как от неравенства (2) перейти к равносильному ему неравенству (3) или, как говорят, осуществить равносильный переход? Сформулируем несколько общих правил, позволяющих это делать.

Правило 1. Если функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве X, то неравенства f (x) > g (x) и f (x) + h (x) > g (x) + h (x)

равносильны на этом множестве.

Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.

Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.

Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Если обе части неравенства f (x) > g (x) неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Яснее всего это видно на примере числовых неравенств. Так, если верное неравенство −1 > −4 возвести в квадрат, то получится неверное неравенство 1 > 16. Такое противоречие вызвано именно тем, что части первоначального неравенства не были неотрицательными.