2.13 Методика введения и изучения рациональных чисел.

Большинство применений в математике связано с измерением величин, но для этих целей не достаточно мн-ва натуральных чисел.т.к. не всегда единица величины (1м, см) укладывается в целое число раз в измеряемой величине. Поэтому для решения задач измерения величины необходимо рассмотреть мн-во N чисел. 1) первичным расширением этого мн-ва является мн-во положительных рациональных чисел. 2) зетеммн-во положительных действительных чисел и далее введем мн-во всех действительных чисел.

Пон-е дроби. Пон-е положительного рационального числа. Рассмотрим задачу измерения длины отрезка. Пусть дан отрезок предположим что при измерении оказалось, что отрезок а состоит из 2х отрезков е в этом случае длина отрезка а не может быть выражена N числом. Разобьем отрезок е на несколько равных частей предположим на 3 и если 1/3 доля отрезка е укладывается в а например 8 то в этом случае говорят, что отрезок а соответствует пара чисел (8,2) такая запись 8/3 называется дробной. В общем случае отрезку а. будет соотвествовать дробь m/n т.е. отрезок а=m/n отрезка е. n – знаменатель.он показывает на сколько равных частей были разбит единичный отрезок. m- числитель. он показывает сколько частей равных n –ой части отрезка e состоит отрезок а. Дробь m/n называется правильной если ее числитель меньше знаменателя. и неправильной если числитель больше знаменателя или равен ему. 1/3 правильная. 3/3 неправильная.

Вернемся к задачи: Если 1/3 часть отрезка е уложилась в отрезке а восемь раз то очевидно что 1/6 часть отрезка е уложится в отрезке а 16 раз. 1/9 24 раза. Вообще говоря длина- одного и того же отрезка а при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями при чем если длин выражена дробью m/n то она может быть выражена и дробью m*n/n*k, k€ (к пренадлежитмн-вунат. чисел) N. Две дроби выражающие длину одного и того же отрезка называются равными.

Как сравнивать дроби. Две дроби m/n и p/q будут равны – тогда и только тогда когда выполняется сл. равенство m/q и p/n. Пусть во мн. всех дробей введено отн-е «равенство» выясняем какимисв-вами обладает это отношения: 1)рефлексивности. каждая дробь равна себе. m/n= m/n =>mn=nm

2) симметричности (если одна дробь равна второй то вторая равна первой m/n=p/q =>p/q=m/n 3) транзитивности. m/n=p/q^ p/q=а/в =>m/n=а/в -

Мн-во равных между собой дробей называются положительным рациональным числом а каждая дробь принадлежащая этому классу есть запись (представление этого числа мн-во всех положительных рациональных чисел обозначается Q+.

Положительное рац. число можно записать любой дробью из данного класса чаще всего оно записывается несократимой дробью. В каждом классе эквивалентности существует единственная несократимая дробь.

Арифметические дей­ствия во множестве рациональных чисел, их св-ва.

1. Сложение. Пусть положительное рац. числовr1 представлено дробью m/n, а положительное рациональное число r2 – дробью p/n (r1= m/nr2 =p/n) то их суммой называется положительное рациональное число которое представляется дробью m+p/n

св-ва сложения: 1) коммуникативные r1+r2=r2+r1 2) ассоциативный (r1+r2)+r3=r1+(r2+r3)

Докажим 1е св-во. r1= m/n, r2=p/n, r1+r2 = m+p/n, т.к. m+p=p+mт.о. r1+r2=r2+r1. r2+r1=p+m/n. Мы воспользовались коммуникативным законом сложения N чисел.т.к. m и p натуральные числа. 2

2) Умножение. Если r1= m/n, аr2 =p/q то их произведениям называется положительное число которое представляет собою mp/nq

Св-вамн-ваQ+.

1.Во множестве Q+ нет наименьшего элемента. (умн-ваN – это 1) Предположим что существует наименьший элемент во мн-веQ+ пусть это r1 записан дробью m/n, r1=m/n. составим число r2>r2=m/2n покажем что r2<r1, то r1-r2=m/n-m/2n=2m-m/2n=m/2n>0=>r1>r2.

2. Во мн-веQ+ нет наибольшего элемента. Предположим что такое число существует пусть это r1=m/n, r2=2m/n, r1-r2=m/n-2m/n=-m/n<0 =>r1<r2, т.е. r2>r1

3. Мн-во Q+ упорядочено отн-е быть больше или быть меньше, т.к. эти отношения заданные во мн-веQ+ являя отношениями строгого порядка.

4. Мн-во Q+ плотно в себе.т.е. между 2мя Q+ можно найти др. Q+.

Доли и дроби.

1)конструируем доли. 2)ученик записывает долю при этом поясняет что под чертой записываем число равных частей на к-е делятся объект. Равные части а над чертой –сколько таких частей мы взяли в нашем случае Доля. 3)Сравнение долей в нач. курсе мат. начинается только с использованием граф. моделей. Использование таблицы полосок. 4)обуч-е решению задач с долями а)нахождение числа по его доли. Пр. в матке было 15м. проволкиизрасходовали 1/3 из этого мотка сколько из этой проволоки израсходовали. с пом. модели. б)нахождение доли по числу. Пр. 3метра приходятся на ¼ часть проволоки в матке. Сколько всего метров проволоки в мотке.

Дроби. Этапы изучения этой темы аналогичны тем что были в теме доли. Обычно в этой теме вводят термины «числитель» и «знаменатель».