Построение регрессионной модели
Построение экономической модели включает спецификацию составляющих ее соотношений, выбор переменных, входящих в каждое соотношение, а также определение математической функции, представляющей каждое соотношение. В данном параграфе мы рассмотрим более подробно вопрос о выборе модели.
Если точно известно, какие объясняющие переменные должны быть включены в уравнение при проведении регрессионного анализа, то наша задача – ограничиться оцениванием их коэффициентов, определением доверительных интервалов для этих оценок и т. д. Однако на практике мы никогда не можем быть уверены, что уравнение специфицировано правильно. Экономическая теория должна указывать направление, но теория не может быть совершенной. Не будучи уверенными в ней, мы можем включить в уравнение переменные, которых там не должно быть, и в то же время мы можем не включить другие переменные, которые должны там присутствовать.
Невключение в уравнение существенной переменной
Предположим, что
переменная
зависит от двух переменных
и
в соответствии с соотношением:
.
Однако вы не уверены в значимости . Считая, что модель должна выглядеть как
вы оцениваете регрессию
.
Таким образом, невключение в модель переменной, которая должна была быть включена, приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии.
Есть, однако, один
исключительный случай, когда оценка
остается несмещенной. Это случается,
когда выборочная ковариация между
и
в точности равняется нулю. Действительно,
коэффициент, полученный с использованием
парной регрессии, будет точно таким же,
как если бы вы оценили правильно
специфицированную множественную
регрессию. Конечно, величина смещения
здесь равнялась бы нулю и при
,
но в этом случае неправильной спецификации
не возникает.
Другим серьезным следствием невключения переменной, которая на самом деле должна присутствовать в регрессии, является то, что формулы для стандартных ошибок коэффициентов и тестовые статистики, вообще говоря, становятся неприменимыми. Это, разумеется, означает, что, основываясь на полученных результатах оценки регрессии, в принципе нельзя заниматься проверкой каких-либо гипотез.
Включения в модель несущественной переменной
Допустим, что истинная модель представляется в виде:
а вы считаете, что ею является
В целом проблемы
смещения здесь нет, даже если
будет рассчитана неправильно. Величина
математического ожидания
остается равной
,
но в общем оценка будет неэффективной.
Она будет более неустойчивой, в смысле
наличия большей дисперсии относительно
,
чем при правильном вычислении.
Утрата эффективности в связи со включением в случае, когда она не должна была быть включена, зависит от корреляции между и .
Дисперсия в общем окажется большей при множественной регрессии, и разница будет тем большей, чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице. Единственным исключением в связи с проблемой утраты эффективности является вариант, когда коэффициент корреляции точно равен нулю. В этом случае оценка для множественной регрессии совпадает с оценкой для парной регрессии.