3. Проверка гипотез о значимости коэффициентов уравнения регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является задача установления наличия линейной зависимости между и , или что тоже самое проверка статистической значимости коэффициента на уровне значимости .

Для этого находится эмпирическое значение -статистики Стьюдента:

и критическое значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы , где – число наблюдений:

.

Значение позволяет сделать вывод о значимости коэффициента регрессии .

Если же , то коэффициент незначим, т.е. , значит и зависимость в целом незначима. Необходимо переоценить уравнение регрессии.

Аналогично проверяется гипотеза о значимости коэффициента . В случае незначимости коэффициента, уравнение регрессии принимает вид: .

4. Интервальные оценки

   1. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии

В силу случайного отбора элементов в выборку случайным является также и оценки и параметров и теоретического уравнения регрессии. Поэтому полезно находить их интервальные оценки, что дает определенные гарантии точности.

Доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии и , которые будут приемлемы с надежностью при найденных оценках и .

Интервалы и с надежностью накрывают определяемые параметры и , где – критическое значение распределения Стьюдента, зависящие от надежности и объема выборки .

Таким образом, доверительный интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться с вероятностью значения параметров регрессии.

2. Доверительный интервал для зависимой переменной

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных.

Пусть нас интересует некоторое возможное значение переменной при определенном значении объясняющей переменной .Предсказанное (спрогнозированное) по уравнению регрессии значение при составляет .

Стандартная ошибка для полученного прогнозного значения равна:

.

Доверительный интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более точек наблюдений при .

Чем ближе значение к среднему значению и чем больше число наблюдений , тем величина ближе к единице. Поэтому нижнюю и верхнюю границы доверительный интервала находят по формулам: и соответственно, где – стандартная ошибка оцененной регрессии.

5. Множественный регрессионный анализ

Множественный регрессионный анализ является развитием парного регрессионного анализа применительно к случаям, когда зависимая переменная гипотетически связана с более чем одной независимой переменной. Большая часть анализа будет непосредственным расширением парной регрессионной модели, но здесь мы сталкиваемся с двумя новыми проблемами.

Во-первых, при оценке влияния данной независимой переменной на зависимую переменную нам придется решать проблему разграничения ее воздействия и воздействий других независимых переменных.

Во-вторых, мы должны будем решить проблему спецификации модели. Часто предполагается, что несколько переменных могут оказывать влияние на зависимую переменную, с другой стороны, некоторые переменные могут не подходить для модели. Мы должны решить, какие из них следует включить в уравнение регрессии, а какие — исключить из него. Вторая проблема будет рассмотрена позже. В данной главе мы полагаем, что спецификация модели правильна. В большинстве ситуаций мы ограничимся основным случаем, где используются только две независимые переменные.