Автокорреляция и связанные с ней факторы
До сих пор
предполагалось, что значение случайного
члена и в любом наблюдении определяется
независимо от его значений во всех
других наблюдениях. Другими словами,
мы предполагали, что удовлетворено
третье условие Гаусса-Маркова, то есть
при
.
Последствия автокорреляции в некоторой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Коэффициенты регрессии остаются несмещенными, но становятся неэффективными, и их стандартные ошибки оцениваются неправильно (вероятно, они смещаются вниз, т. е. занижаются).
Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Случайный член и в уравнении регрессии подвергается воздействию тех переменных, влияющих на зависимую переменную, которые не включены в уравнение регрессии. Если значение и в любом наблюдении должно быть независимым от его значения в предыдущем наблюдении, то и значение любой переменной, «скрытой» в и, должно быть некоррелированным с ее значением в предыдущем наблюдении.
Постоянная направленность воздействия не включенных в уравнение переменных является наиболее частой причиной положительной автокорреляции – ее обычного для экономического анализа типа. Предположим, что вы оцениваете уравнение спроса на мороженое по ежемесячным данным и что состояние погоды является единственным важным фактором, «скрытым» в и. Вероятно, у вас будет несколько последовательных наблюдений, когда теплая погода способствует увеличению спроса на мороженое и, таким образом, и положительно, и после этого – несколько последовательных наблюдений, когда ситуация складывается противоположным образом, после чего идет еще один ряд теплых месяцев и т. д.
Рис. 6. 3. Положительная автокорреляция
Если доход постоянно
возрастает со временем, схема наблюдений
может быть такой, как показано на рис.
6.3. При обозначении объема продаж
мороженого через
и дохода через
будет иметь место трендовая зависимость,
отражающая рост объема продаж:
.
Фактические наблюдения будут в основном
сначала находиться выше линии регрессии,
затем ниже ее и затем опять выше.
Изменения экономической конъюнктуры часто приводят к похожим результатам, особенно наглядным в макроэкономическом анализе, и в литературе о циклах деловой активности есть много таких примеров.
Здесь важно отметить, в частности, что автокорреляция в целом представляет тем более существенную проблему, чем меньше интервал между наблюдениями. Очевидно, что чем больше этот интервал, тем менее правдоподобно, что при переходе от одного наблюдения к другому характер влияния неучтенных переменных будет сохраняться.
Если в примере с мороженым наблюдения проводятся не ежемесячно, а ежегодно, то автокорреляции, вероятно, вообще не будет. Мало вероятно, чтобы совокупное влияние погодных условий в одном году коррелировало с аналогичным влиянием в следующем году.
В принципе автокорреляция может также быть отрицательной. В нашем случае это означает, что корреляция между последовательными значениями случайного члена отрицательна. В этом случае, скорее всего, за положительным значением в одном наблюдении идет отрицательное значение в следующем, и наоборот; диаграмма рассеяния при этом выглядит так, как показано на рис. 6.4.
Рис. 6. 4. Отрицательная автокорреляция
Здесь снова предполагается, что со временем растет. Линия, соединяющая последовательные наблюдения друг с другом, будет пересекать линию, показывающую зависимость между и , чаще, чем можно было ожидать, если бы значения случайного члена не зависели друг от друга.
В экономике отрицательная автокорреляция встречается относительно редко.
При рассмотрении автокорреляции мы будем предполагать, что имеем дело с данными временного ряда, и поэтому станем ссылаться на наблюдение , a не и обозначать размер выборки через вместо . Таким образом, базовая модель будет записана в виде:
|
(7) |
.