РГР Кратные интегралы 13 вариант (8-16 зад)
.pdf
7 _ 08 _13
Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ плотность. Найти массу пластинки.
D : x = 2, y = 0, y2 = x
2 (y ≥ 0); μ = 2x +3y2 .
Решение:
Из рисунка находим пределы интегрирования по x и y. Сначала интегрируем по y, затем по x.
M D |
= ∫∫μ(x, y)dxdy = ∫2 |
dx |
x∫/ 2 (2x +3y2 )dy = ∫2 |
dx(2xy + |
||||||||
|
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D |
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0 |
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0 |
0 |
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2 |
5x |
3 / 2 |
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5 2 |
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2 |
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||||||||
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|||||||
= ∫ |
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dx = |
x |
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= 4 |
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||
2 2 |
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2 |
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|||||||
0 |
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||||
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0 |
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- поверхностная
y3 ) 0 x 2 =
7 _ 09 _13
Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
D : x2 9 + y2 4 ≤1;
μ = x2 y2 .
Решение:
Обобщенная полярная сиситема координат:
x = 3r cosϕ
y = 2r sin ϕ
Якобиан перехода равен
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∂x |
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∂x |
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3cosϕ −3r sin ϕ |
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||||
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|||||||
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∂ϕ |
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∂r |
= |
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= 6r |
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|||||
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||||||||||
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∂y |
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|
∂y |
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2sin ϕ |
2r cosϕ |
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|||
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∂ϕ |
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|
∂r |
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(1) |
2π |
1 |
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||||
m = ∫∫m(x, y) dx dy = |
∫dϕ∫6r 36r4 sin2 ϕ cos2 ϕdr = |
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|||||||||||||||||||
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D |
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0 |
0 |
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|
2π |
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1 |
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|
1 |
2π |
|
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|
r |
6 |
1 |
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= ∫sin2 ϕ cos2 ϕ dϕ ∫216 r5 dr = |
∫sin2 |
2ϕ dϕ |
216 |
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| |
|
= |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
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|
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|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
0 |
|
|||||
= |
1 |
|
2π |
(1 −cos 4ϕ) dϕ |
36 = |
9 |
|
|
sin 4ϕ 2π |
= 9π |
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||||||||||
8 |
∫0 |
2 |
ϕ − |
|
4 |
| |
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||||||||||||||
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|
0 |
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||||
7 _10 _13 _1
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
x = 5 |
|
y, |
x = |
|
5 |
y, |
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|||||||||
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18 |
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||||||||||||||
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6 |
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5 |
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||||||
z = 0, z = |
(3 + y ). |
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|||||||||||||||||||
18 |
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Решение: |
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|||||||
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5 y / 6 |
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5 |
(3+ y ) |
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|
|
|
5 y |
|
|
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||||||||||||||||
V = ∫∫∫dx dy dz = ∫9 dy |
|
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18 |
|
|
|
|
8 |
|
|
∫9 dy |
|
|
∫6 |
(3 + y )dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
∫ |
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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15 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
5 y / 18 |
|
|
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|
|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
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|
5 y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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18 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
9 |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
5 |
y |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
9 |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
5 |
|
|
y |
|
|
|
5 y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
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|
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|
∫ |
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
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3 |
+ |
|
y |
|
|
x | |
|
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|
dy = |
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
y |
|
|
|
|
|
− |
dy = |
||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
18 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 y |
|
|
|
|
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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18 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
25 |
|
9 |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
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|
25 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
108 |
|
|
|
3 |
+ |
|
y |
|
|
|
|
|
y − |
|
3 |
dy = |
108 |
|
|
|
3 y − |
|
3 |
|
|
dy = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
y |
9 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
2 y y |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
= |
|
|
|
|
|
y y |
|
1 − |
|
|
|
|
| |
= 5 |
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
108 |
|
|
|
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|
|
|
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|
15 |
|
|
|
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|
|
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54 |
|
|
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||||||||||
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0 |
|
|
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|
|
|
|
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15 0 |
|
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|||||||||||||||||
7_10_13_2
7 _11_13 _1
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: x2 + y2 = 2 y,
z =13
4 − x2 , z = 0.
Решение:
Перейдем к цилиндрической системе координат:
x = r cosϕ |
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||||||||
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|
= r sin ϕ |
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|||||
y |
|
|
|
|
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|||||||
|
|
= z |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
π |
|
|
2 sin ϕ |
|
13 / 4−r2 cos2 ϕ |
π |
2 sin ϕ |
r (13 / 4 −r2 cos2 ϕ)dr = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
V = ∫dϕ ∫ |
|
|
r dr |
|
|
∫ |
|
|
|
|
dz = ∫dϕ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
13 r2 |
|
|
|
r4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 sin ϕ |
|
|
|
π |
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
cos |
|
ϕ |
|
| |
dϕ |
= |
∫0 |
|
|
|
|
sin |
|
ϕ −4 sin |
|
ϕ cos |
|
|
ϕ |
dϕ |
||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
π |
13 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
sin 2ϕ π |
|
13π |
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
sin |
|
ϕ |
dϕ = |
|
|
∫(1 −cos 2ϕ) |
dϕ = |
|
|
ϕ |
− |
|
| |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
π |
|
|
|
4 |
ϕ cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 −cos 2ϕ 2 |
|
1 +cos 2ϕ |
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫sin |
|
|
ϕ dϕ = ∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=1 π∫(1 −cos 2ϕ +cos2 2ϕ) (1 +cos 2ϕ) dϕ = 8 0
= |
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2ϕ +cos |
3 |
2ϕ) dϕ = |
1 |
|
ϕ |
− |
sin 2ϕ π |
− |
1 |
π |
1 +cos 4ϕ |
dϕ + |
||||||||||||
8 |
∫(1 −cos 2ϕ −cos |
|
|
|
8 |
|
2 |
| |
8 |
∫ |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
1 |
|
π |
(1 −sin |
2 |
2ϕ) d |
(sin 2ϕ)= |
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
sin 4ϕ π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
ϕ + |
|
|
|
| + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16 |
|
|
8 |
16 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2ϕ |
π |
= π |
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
|
sin 2ϕ − sin |
|
| |
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16 |
3 |
|
16 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
V = |
|
13π |
−4 |
π |
|
= |
3π |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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4 |
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||||||||
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|
16 |
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7_11_13_2