РГР Кратные интегралы 13 вариант (8-16 зад)
.pdf
7 _12 _13 _1
Найтиобъем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: x = 3y2 −5, x = −2,
z = 2 − x2 +16 y2 , z = 8 − x2 +16 y2 .
Решение:
1 |
|
−2 |
8− |
x2 |
+16 y |
2 |
1 |
−2 |
1 |
|
|
y |
3 |
1 |
|
||
V = ∫dy ∫ dx |
|
∫ |
|
dz = ∫dy |
∫ |
6 dx = 6∫ |
(3 −3y2 )dy =18 |
− |
|
+ y | |
= |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
2 |
−5 |
2− |
2 |
+16 y |
2 |
− |
2 |
−5 |
− |
|
3 |
−1 |
|
||
1 |
3 y |
x |
|
1 |
3 y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
=18 |
4 |
= 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7_12_13_2
7 _13 _13
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: z = 1 − x2 − y2 ,
3z
2 = x2 + y2 .
Решение:
Перейдем к цилиндрической системе координат:
x = r cosϕ
y = r sin ϕz = z
Найдем линию пересечения графиков функций:
z = 1 − x2 − y232z = x2 + y2
V = 2∫π dϕ 3∫/ 2 r dr
0 0
|
z = 1 −(x2 + y2 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
+ y |
|
= |
2 |
|
|
|
1−x2 −y2 |
|
|
|
2π |
|
|
3 / 2 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
|
2 |
(x2 +y2 ) |
dz = |
|
dϕ |
|
r |
|||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z2 +3z −2 = 0 |
z = 0,5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3z |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
+ y |
2 |
= |
|
2 |
+ y |
2 |
= |
||||
|
x |
|
|
|
2 |
x |
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−r |
2 |
− |
2 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dr = |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2π |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
2r |
3 |
|
2π |
|
|
1 |
|
3 |
|
r |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
= ∫dϕ |
− |
∫ |
1 −r2 d (1 −r2 )− ∫ |
|
dr |
= ∫dϕ |
− |
(1 −r2 )2 |
− |
|
|
| |
= |
|||||||||||
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫π 19 |
dϕ |
= |
19 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
96 |
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 _14 _13 _1
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: z = −16 (x2 + y2 )−1,
z = −32x −1.
Решение:
Перейдем к цилиндрической системе координат:
x = r cosϕ
y = r sin ϕz = z
Найдем линию пересечения поверхностей:
−16(x2 + y2 )−1 = −32x −1 x2 + y2 = 2x
|
π / 2 |
2 cos ϕ |
|
|
−16r2 |
−1 |
|
|
π / 2 |
2 cosϕ |
r (−16r2 +32r cosϕ)dr = |
|||||||
V = |
|
∫ dϕ |
∫ |
r dr |
∫ |
dz = |
∫ |
dϕ |
∫ |
|
||||||||
|
−π / 2 |
0 |
|
|
|
−32r cosϕ−1 |
|
|
−π / 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
π |
/ 2 |
|
32 |
r |
3 |
cosϕ −4r |
4 |
|
2 cos ϕ |
π / 2 |
64 |
cos |
4 |
ϕdϕ = |
||||
= ∫ |
dϕ |
3 |
|
|
|
| |
= ∫ |
|
3 |
|
|
|||||||
−π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−π / 2 |
|
|
|
|
||||
ππ
= |
64 |
∫2 |
|
cos4 ϕ dϕ = 64 |
1 |
∫2 (1 +cos 2ϕ)2 dϕ = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
−π |
|
|
3 |
4 |
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 64 |
1 |
|
(1 + 2 cos 2ϕ +cos2 2ϕ) dϕ = 64 1 (ϕ +sin 2ϕ) | + |
|||||||||||||||||||
∫ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
− |
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
64 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
64 |
3ϕ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(1 +cos 4ϕ) dϕ = |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫π |
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
sin 2ϕ |
+ |
|
sin 4ϕ |
| |
= 8π |
||||
3 |
|
8 |
|
3 |
|
4 |
32 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
−π |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7_14_13_2
7 _15 _13 _1
Найти объем тела, заданного неравенствами: 4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 49,
z ≥ |
x2 |
+ y2 |
, y ≤ 0, y ≤ |
3x. |
|
99 |
|||
|
|
|
|
Решение:
Перейдем к сферической системе координат:
x = r cosϕcosθy = r sin ϕcosθ
z = r sinθ
Якобиан преобразования равен r2 cosθ
|
0 |
|
|
|
π |
/2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
π / 2 |
|
|
|
r |
3 |
7 |
|
|||||
V = |
∫ |
dϕ ∫ |
|
dθ ∫r2 cosθ dr = |
∫ |
dϕ ∫ |
|
cosθ dθ |
|
| |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2π / 3 |
|
|
arctg |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−2π / 3 |
|
|
arctg |
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 335 |
|
0 |
|
dϕ |
|
|
π / 2 |
|
cosθ dθ = 335 |
0 |
|
dϕ sinθ |
| |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
−2π / 3 |
|
|
arctg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2π / 3 |
|
arctg |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫ |
1 |
−sin arctg |
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
−2π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
α = arcth |
|
1 |
|
tgα = |
|
|
|
1 |
|
ctgα = |
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
99 |
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так как 1 +ctg2α = |
1 |
|
|
|
, то sinα = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sin2 α |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V = |
33 |
∫0 |
(1 −0,1) dϕ = |
335 |
0,9 2π = 67π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
−2π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7_15_13_2