8 Сборник задач по курсу Комбинаторного анализа, 2007 Сборник задач по курсу Комбинаторного анализа

Содержание

1 Комбинаторика 1

2 Метод включений и исключений 5

3 Свойства биномиальных коэффициентов 6

4 Производящие функции 6

5 Решение рекуррентных соотношений 7

Темы докладов 8

1 Комбинаторика

1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если: а) ни одна цифра не повторяется больше одного раза в записи числа; б) цифры в записи числа могут повторяться; в) цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечетным.

2. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида ма­рок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать кон­верт с маркой для посылки письма?

3. Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами могут они упасть?

4. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами мо­жет быть сделан этот выбор?

5. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого?

6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?

7. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколь­кими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен (различных)?

8. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

9. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.

10. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?

11. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизон­тали и вертикали?

12. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

13. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чи­сел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной?

14. Деление предметов.Еслиnразличных предметов делят междуkлицами без ограничений, каждый предмет можно вручитьkспособами (отдав его одному из участников раздела). Поэтому число решений равноkⁿ.

15. В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по край­ней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.

16. В некотором государстве не было двух жителей с одинако­вым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)?

17. Пусть на диск замка нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

18. Монета подбрасывается 4раза. Сколько существует различных комбинаций выпадения "герба" и "решки"?

19. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содержащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей образовывали пары (например, девятки пик и треф и валеты бубен и червей)?

20. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курье­ров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

21. На железнодорожной станции имеется mсветофоров. Сколь­ко может быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый и зеленый?

22. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти?

23. Сколькими способами можно разделить 8 различных пирожных можно между 5 человеками?

24. У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так, что число апельсинов, получаемых ка­ждым сыном, не ограничено.

25. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используют­ся 32 буквы русского алфавита.

26. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

27. Сколько слов, содержащих по пяти букв каждое, можно со­ставить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», не допускаются?

28. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В го­роде есть три завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики (туда приглашают жен­щин) и две фабрики, где требуются и мужчины и женщины. Сколь­кими способами могут они распределиться между этими предприя­тиями?

29. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для работы? В группу могут входить 1, 2, 3, ..., 15 чело­век. Та же задача для случая выбора из п человек.

30. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?

31. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с по­мощью цифр 8 и 9?

32. Сколько чисел, меньших, чем миллион, можно написать с по­мощью цифр 9, 8, 0 (записи, начинаю­щиеся с нуля, считаются недопустимыми).

33. Сколько чисел, меньших, чем миллион, можно написать с по­мощью цифр 9, 8, 7.

34. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

35. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюд­ца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?

36. Нужно из 12 девочек одного класса выбрать 3-х актрис на роли: Золушки, мачехи и волшебницы. Сколькими способами это можно сделать?

37. Сколько существует различных способов назначить трех студентов из семи на дежурство, если один должен дежурить в столовой, другой в библиотеке, а третий в университетском саду.

38. У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

39. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух коро­лей, двух десяток и т. д.

40. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непо­средственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой дру­гой из этих пяти языков?

41. На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

42. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух коро­лей, двух десяток и т. д.

43. В купе железнодорожного вагона имеется два противопо­ложных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к паровозу, ос­тальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

44. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую цифру можно использовать не более одного раза)? А четных?

45. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

46. Та же задача, но А должен выступить непосредственно пе­ред Б.

47. На полке находятся m+nразличных книг, из которыхт в черных переплетах, аnв красных. Сколько существует перестано­вок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первыет мест? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?

48. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

49. Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок раз­ных размеров (надо использовать все 7 бусинок)?

50. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? А семь человек? Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются со­седями? Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?

51. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

52. Сколькими способами можно посадить на ка­русель 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Способы, переходящие друг в друга при вращении кару­сели, считаются совпадающими.

53. Сколько перестановок можно получить, переставляя буквы в слове Миссисипи?

54. Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой горизонтали шахматной доски?

55. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 15 (20) участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

56. Сколько различных браслетов можно сделать из пяти оди­наковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

57. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пе­решеек» так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд?

58. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опоссум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после бук­вы «о»?

59. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

60. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ка­ракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

61. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом?

62. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы две буквы «о» не стояли рядом.

63. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

64. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими спосо­бами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за ка­ждое предложение?

65. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

66. Сколькими различными способами можно разложить в различных ящиковбелых ичёрных шариков, если в каждом ящике может находиться любое количество шариков, некоторые ящики могут оставаться пустыми?

Генуэзская лотерея. В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах до сих пор. Суть ее заключается в следующем. Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить и билеты, на которых было сразу два, три, четыре или пять чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка, содержавшего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у кого все числа на билете были среди вынутых (видоизмененная лотерея – игра в лото. Заполнение 4 чисел называют квартира – искаженное от «катерн»). Например, если на билете были числа 8,21,49, а вынутыми оказались 3,8,21,37,49, то билет выигрывал; если же вынутыми были числа, например, 3,7,21,37,49,63, то билет проигрывал – так как числа 8 среди вынутых не оказалось.

Если участник лотереи покупал билет с одним числом, то он получал в выигрыше в 15 раз больше стоимости билета, если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с тремя числами (терн), то в 5500 раз больше, если с четырьмя числами (катерн) – в 75000 раз больше, а если с пятью числами (квин) – то в 1 000 000 раз больше, чем стоимость билета.

Многие люди пытались обогатиться, участвуя в этой лотерее и ставя в каждом розыгрыше на терн или амбо. Но почти никому не удалось это сделать – лотерея была рассчитана так, чтобы в выигрыше оставались ее устроители.

Найдите, каково отношение «счастливых» исходов лотереи к общему числу ее исходов при различных способах игры.

67. Из группы студентов в 7 человек требуется выбрать троих для дежурства в столовой. Сколькими способами это можно сделать?

68. Нужно составить комиссию из трех равноправных членов, выбирать представителей комиссии можно из четырех семей (муж и жена), причём от каждой семьи не может избираться более одного человека.

69. В турнире принимали участие nшахматистов, и каждые2шахматиста встретились1раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

70. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

71. Аналогичная задача, если яблок т, а грушп.

72. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы как гласные, так и согласные шли в алфавит­ном порядке?

73. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Абакан» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке? То же самое при дополнительном условии, что две буквы «а» не идут подряд.

74. Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти различным пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?

75. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

76. Сколькими способами можно выбрать три камня для кольца, если имеются пять оди­наковых изумрудов, шесть одинаковых рубинов и семь одинаковых сапфиров?

77. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, ..., 10. Из нее вы­нимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9?

78. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в ка­ждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

79. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами можно поменять две книги одного на две книги другого?

80. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

81. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Та же задача, если в отряд должен войти командир роты и старший из сержантов.

82. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

83. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чи­сел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была четной?

84. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров; при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей?

85. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?

86. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

87. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков, 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?

88. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков, 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы, если каждый из ребят должен получить не менее 3 цветков каждого вида?

89. Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми?

90. Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами?

91. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей ше­стерку для запряжки так, чтобы вошли 3 лошади из шестерки АВСА'В'С', но ни одна из парАА', ВВ', СС'?