- •Министерство образования рф
- •§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.
- •Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.
- •§ 12.2. Функциональные ряды.
- •Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.
- •§ 14.2. Случайные величины.
- •Глава XV. Математическая статистика.
Министерство образования рф
Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Краткий справочник
по математике для специальностей инженерно-технического профиля
Кострома
2002 г
Глава I. Элементы линейной алгебры. 3
§1.1. Определители. 3
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3
Глава II. Векторная алгебра. 4
§2.1 Основные понятия. 4
§2.2. Операции над векторами. 4
§ 2.3. Переход к новому базису. 4
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 4
§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4
§ 3.2. Действия над комплексными числами 5
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 6
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6
§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6
§ 7.2. Корень уравнения. 7
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 7
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9
§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9
§ 10.2. Определенный интеграл. 9
§ 10.3. Двойной интеграл. 10
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 10
ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11
§ 12.1. Числовые ряды. 11
§ 12.2. Функциональные ряды. 12
ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12
§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12
§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12
ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 13
§ 14.1. Случайные события. 13
§ 14.2. Случайные величины. 13
ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14
Глава I. Элементы линейной алгебры.
§1.1. Определители.
Определение:Матрицей называется таблица чисел, в которойm строк иnстолбцов
, где
– элементы матрицы,– номер строки,– номер столбца
Только для квадратных матриц введено понятие определителя.
Теорема:Определитель матрицыили определительn-го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:
,
где – алгебраическое дополнение к элементу;
Определение: Миноромэлементаназывается определитель, получаемый из данного после вычеркиванияi-ой строки иj-го столбца.
В частных случаях:
или схематический (метод треугольников):
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.
,,
,справедливо:
Глава II. Векторная алгебра.
§2.1 Основные понятия.
Если , где;;– координаты вектора,
,,– вектора базиса; томодульили длина вектораопределяется по формуле:
Если вектора иколлинеарны, то
§2.2. Операции над векторами.
Пусть ,.
Тогда
Скалярное произведениевекторови:
В пространстве последняя формула примет вид:, где,.
§ 2.3. Переход к новому базису.
В некотором базисе даны вектора: ,,.
Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторамии, т.е. решить векторное уравнение:
,,
которое сводится к системе линейных уравнений:
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 3.1. Представление комплексных чисел.
1. Алгебраическая форма комплексного числа:
,,– мнимая единица,
– действительная часть комплексного числа, обозначается,
– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается.
Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости(обратное справедливо).
2. Тригонометрическая форма комплексного числа:
, где
–модуль комплексногочисла,
– аргумент комплексного числа,
,.
– главное значение аргумента комплексного числа;
.
Распределение знака по четвертям:
3. Показательная форма комплексного числа:
§ 3.2. Действия над комплексными числами
Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу
Степени мнимой единицы:
…
…
…
…,
В частных случаях:
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
Если каждому элементу множестванекоторым способом поставлен в соответствие один элементмножества, то говорят, что задано отображение множествав множество. Записывают:
или
иизображают с помощью диаграмм Венна:
Пример:
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
& – знак конъюнкции, логического умножения;
– знак дизъюнкции, логического сложения;
,;
,;
,;
,;
;
,,,;
,;
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.
Сочетания: (порядок элементов внутри выборкиневажен)
Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)
Перестановки:
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.
§ 7.1. Преобразования графиков функций.
§ 7.2. Корень уравнения.
Если уравнение имеет единственный корень при, то уравнениетак же имеет корень при.
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Правила вычисления пределов.
Если и, то
;
;
, при;
,.
Первый замечательный предел.
.
Следствия:,
,
,
Второй замечательный предел.
.
Основные неопределенности.
, ,,,.
Основные эквивалентные бесконечно малые величины.
,,,,при.
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Правила дифференцирования.
Если ,– дифференцируемые функции,
то
Формулы дифференцирования:
,
,
,
Следствие:,
Формула Лапиталя.
Дифференциал функции.
Применение дифференциального исчисления в исследовании функции
Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке, то.
Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке, то.
Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.
2. Градиент функцииопределяется по формуле:
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
§ 10.1. Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов.
Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:
,,,
Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:
, т.е. дробь правильная
§ 10.2. Определенный интеграл.
§ 10.3.Двойной интеграл.
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.
Например:– дифференциальное уравнение 1гопорядка.
– начальное условие.
Функция является частным решением дифференциального уравнения 1гопорядка, если выполняется:
Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:
, где
и
Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.
– дифференциальное уравнение 2гопорядка,
;– начальные условия.
Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные
неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
Решение уравнений ищется в виде:
, где– общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,
– частное решение исходного уравнения.
строится в зависимости от корней характеристического уравнения:
Если , то
При ,
При ,