Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Справочник по математике.doc
Скачиваний:
49
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
882.18 Кб
Скачать

Министерство образования рф

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

Краткий справочник

по математике для специальностей инженерно-технического профиля

Кострома

2002 г

Глава I. Элементы линейной алгебры. 3

§1.1. Определители. 3

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3

Глава II. Векторная алгебра. 4

§2.1 Основные понятия. 4

§2.2. Операции над векторами. 4

§ 2.3. Переход к новому базису. 4

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 4

§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4

§ 3.2. Действия над комплексными числами 5

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5

ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 6

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6

§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6

§ 7.2. Корень уравнения. 7

ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 7

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9

§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9

§ 10.2. Определенный интеграл. 9

§ 10.3. Двойной интеграл. 10

ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 10

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11

§ 12.1. Числовые ряды. 11

§ 12.2. Функциональные ряды. 12

ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12

§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12

ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 13

§ 14.1. Случайные события. 13

§ 14.2. Случайные величины. 13

ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14

Глава I. Элементы линейной алгебры.

§1.1. Определители.

Определение:Матрицей называется таблица чисел, в которойm строк иnстолбцов

, где

– элементы матрицы,– номер строки,– номер столбца

Только для квадратных матриц введено понятие определителя.

Теорема:Определитель матрицыили определительn-го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:

,

где – алгебраическое дополнение к элементу;

Определение: Миноромэлементаназывается определитель, получаемый из данного после вычеркиванияi-ой строки иj-го столбца.

В частных случаях:

или схематический (метод треугольников):

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.

,,

,справедливо:

Глава II. Векторная алгебра.

§2.1 Основные понятия.

Если , где;;– координаты вектора,

,,– вектора базиса; томодульили длина вектораопределяется по формуле:

Если вектора иколлинеарны, то

§2.2. Операции над векторами.

Пусть ,.

Тогда

  1. Скалярное произведениевекторови:

  2. В пространстве последняя формула примет вид:, где,.

§ 2.3. Переход к новому базису.

В некотором базисе даны вектора: ,,.

Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторамии, т.е. решить векторное уравнение:

,,

которое сводится к системе линейных уравнений:

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

§ 3.1. Представление комплексных чисел.

1. Алгебраическая форма комплексного числа:

,,– мнимая единица,

– действительная часть комплексного числа, обозначается,

– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается.

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости(обратное справедливо).

2. Тригонометрическая форма комплексного числа:

, где

модуль комплексногочисла,

– аргумент комплексного числа,

,.

– главное значение аргумента комплексного числа;

.

Распределение знака по четвертям:

3. Показательная форма комплексного числа:

§ 3.2. Действия над комплексными числами

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу

Степени мнимой единицы:

,

В частных случаях:

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Если каждому элементу множестванекоторым способом поставлен в соответствие один элементмножества, то говорят, что задано отображение множествав множество. Записывают:

или

иизображают с помощью диаграмм Венна:

Пример:

ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

& – знак конъюнкции, логического умножения;

 – знак дизъюнкции, логического сложения;

  1. ,;

  2. ,;

  3. ,;

  4. ,;

  5. ;

  6. ,,,;

  7. ,;

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.

Сочетания: (порядок элементов внутри выборкиневажен)

Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)

Перестановки:

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.

§ 7.1. Преобразования графиков функций.

§ 7.2. Корень уравнения.

Если уравнение имеет единственный корень при, то уравнениетак же имеет корень при.

ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Правила вычисления пределов.

Если и, то

;

;

, при;

,.

Первый замечательный предел.

.

Следствия:,

,

,

Второй замечательный предел.

.

Основные неопределенности.

, ,,,.

Основные эквивалентные бесконечно малые величины.

,,,,при.

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Правила дифференцирования.

Если ,– дифференцируемые функции,

то

Формулы дифференцирования:

,

,

,

Следствие:,

Формула Лапиталя.

Дифференциал функции.

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции

  1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке, то.

  2. Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке, то.

Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

2. Градиент функцииопределяется по формуле:

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

§ 10.1. Неопределенный интеграл.

Таблица интегралов.

Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

,,,

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:

, т.е. дробь правильная

§ 10.2. Определенный интеграл.

§ 10.3.Двойной интеграл.

ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.

Например:– дифференциальное уравнение 1гопорядка.

– начальное условие.

Функция является частным решением дифференциального уравнения 1гопорядка, если выполняется:

Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:

, где

и

Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.

– дифференциальное уравнение 2гопорядка,

;– начальные условия.

Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные

неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

Решение уравнений ищется в виде:

, где– общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,

– частное решение исходного уравнения.

строится в зависимости от корней характеристического уравнения:

Если , то

При ,

При ,