Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

РГР Кратные интегралы 13 вариант (1-7 зад)

.pdf
Скачиваний:
52
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
123.21 Кб
Скачать

7 _ 01 _ 13

Изменить порядок интегрирования

π 4

sin y

π 2

cos y

dy

f dx + dy f dx.

0

0

π 4

0

Решение:

 

 

Построим области интегрирования первого и второго интегралов.

Сумма повторных интегралов равна двойному интегралу по области D=D1 +D2 .

Изменяем прядок интегрирования. Т.к внешнй интеграл теперь берем по x, то проектируем область D=D1 +D2 на ось Ox . При этом получим отрезок [0;1/ 2 ],

концы которого дают пределы интегрирования по x : 0 и 1/ 2. Из уравнений линий

выражаем y через x. Для x =sin y : y = arcsin x, для x = cos y : y = arccos x.

π 4

sin y

π 2

cos y

1/

2

arccos x

dy

f dx + dy

f dx =

dx

f dy

0

0

π 4

0

0

 

arcsin x

 

7 _ 02 _13

Вычислить:

∫∫(12xy + 27x2 y2 )dxdy;

D

D : x =1, y = x2 , y = −3 x.

Решение:

Построим область интегрирования. Подынтегральная функция - многочлен по x,y, поэтому ее легко интегрировать в любом порядке. Если в повторном интеграле внешний нтеграл взять по y, а внутренний по x, то область интегрирования придется разбивать на части, т.к. левая граница области интегрирования состоит из кусков двух линий. Если же проинтегрировать сначала по y, затем по x, то область не нужно разбивать на части. В этом случае проецируем эту область на ось Ox, получаем отрезок [0;1], значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y: y = −3 x, y = x2 .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫(12xy + 27x2 y2 )dxdy = 1

dx x

(12xy + 27x2 y2 )dy = 1

dx(6xy2

9x2 y3 )

 

x23

=

 

D

0

3 x

0

 

 

 

 

 

x

= 1 (6x5 / 3 +9x3 +6x5 +9x8 )dx = (9 4 x83 + 9 4 x4 + x6 + x9 )

 

1

= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 _ 03 _13

Вычислить:

∫∫yexy / 4 dxdy;

D

D : y = ln 2, y = ln 3, x = 4, x = 8.

Решение:

Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y, то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям. Чтобы избежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y.

 

xy / 4

ln 3

8

xy / 4

ln 3

 

 

 

4

 

xy / 4

 

 

8

ln 3

4ey

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ye

 

dxdy =

ydye

 

 

 

dx =

ydy

 

 

e

 

 

 

 

= y

y

(e

 

1)dy =

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

D

 

ln 2

4

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

4

ln 2

 

 

 

= ln3 4ey (ey 1)dy = (2e2 y )

 

 

ln 3 (4ey )

 

ln 3 =18 8 12 +8 = 6

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 _ 04 _13

Вычислить:

∫∫∫y2 exy2 dx dy dz;

V

x = 0, y = 2, y = 2x,

V z = 0, z = −1.

Решение:

Т.к. подынтегральная фунуция не зависит от z, интегрирование нужно начать по переменной z, при этом пределы интегрирования по z равны -1 и 0. Если затем интегрировать по y, то придется дважды интегрировать по частям, поэтому проинтегрируем сначала по x, затем по y. Очевидно, что пределы интегрирования по y будут 0 и 2, по x - 0 и y/2.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

y / 2

 

 

0

2

 

 

 

y / 2

 

 

 

 

 

2

 

 

2exy / 2

 

∫∫∫y

2

e

xy 2

dx dy dz = y

2

dy

e

xy / 2

dx dz = y

2

dy

e

xy / 2

dx = y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

y

 

V

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

= 2

y2

2

(ey2 / 4 1)dy =

2

2 y (ey2 / 4 1)dy = (4ey2 / 4 )

 

2

(y2 )

 

2

= 4e 8 2.873

 

 

 

 

 

y

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y / 2

=

0

7 _ 05 _13

Вычислить:

∫∫∫21xz dx dy dz;

V

V : y = x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

Решение:

Область интегрирования представляет собой вертикальный цилиндр, ограниченный снизуплоскостью z = 0, сверху - поверхностью z = xy. Построим проекцию области интегрирования на плоскость Oxy. Пределы интегрирования расставляем по рисунку.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

xy

 

 

 

 

2

 

x

 

 

z

2

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫∫21xz dx dy dz = 21xdxdy zdz = 21xdxdy

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

 

 

 

0

 

0

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

21

2

3

x

2

 

21

 

2

3

 

y3

 

 

x

7

2

6

 

7

2

 

6

 

 

 

 

1

(x

7

)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

x

 

dxy

 

dy =

2

 

x

 

dx

 

 

 

=

2

x

 

dx =

2

x

 

 

dx

=

2

 

 

= 64

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0