Узагальнена та вибіркова парні лінійні кореляційно-регресійні моделі

Припустімо що корел. Залежність рез.змінної у від факторної ознаки х є лінійною і описується таким рівнянням регресії y=β0+β1x+ ε, де ; β0, β1 – істинні параметри зв’язку, значення яких нам не відомі, β0- коеф регресії, β1 вільний член, Е- випадкова величина яка включає різноманітні стохастичні збурення помилки в спостереженнях та вимірюваннях рівняння регресії , називають ПЛКРМ.

Наше завдання побудувати на основі заданих статистичних значень змінних х та у одержати оцінки b0 та b1 невідомих параметрів β0, β1.тобто побудувати р-ння регресії =b₀+b₁x

де теоретичне нормативне прогнозуюче значення результуючої змінної. Це рівняння називають вибірковою ПЛКРМ. Статистичні дані на основі яких будують модель представляють собою вибірку значень xi,yi i=1.n

Вектор Х=(х₁, …х_n) – вектор спостережень над факторною ознакою Х.

Вектор У=(у₁,…у_n) – вектор спостережень над результуючою змінною У. Вважатимемо що значення параметрів для кожного спостереження залишаються постійними., випадкова величина Е набуває різних значень проте її неможливо спостерігати. Отже можна говорити про вектор W=(E1…En) значень випадкової величини Е, значення якого містить вектор У.

Визначення параметрів плкрм

Щоб отримати оцінку b0,b1 невідомих параметрів кореляційного звязку β₀, β₁ застосовуємо метод найменших квадратів. Значення параметрів b0 та b1є точкою мінімуму функції , Суть методу полягає в тому, щоб сума квадратів відхилень емпіричних значень результуючої змінної від відповідних теоретичних була найменшою.

Таким чином значення параметрів b₀, b₁, знаходимо з умови min функції:б

Q = Q(b₀b₁)=

Необхідною умовою екстремуму функції є:

Останню рівність називають системою нормальних рівнянь для визначення параметрів b₀ та b_1. Цю систему можна розв’язати методом визначників (Крамера).

= b0= b1=

Отже, обчислюємо параметри таким чином:

Геометрична інтерпретація спряжених рівнянь регресії. Спряжені рівняння регресії мають такі властивості:

1. якщо кореляційний взаємозв’язок між змінними х та у відсутній, то спряжені рівняння регресії зображуються двома перпендикулярними прямими, де ;

2. якщо між змінними х та у існує функціональний зв'язок то обидві спряжені лінії регресії співпадають;

я кщо між змінними х та у існує кореляційний зв’язок, то спряжені лінії регресії перетинаються, утворюючи між собою гострий кут α.tg φ =

Спряжені моделі графічно відображаються двома прямими, що перетинаються в точці, координатами якої є середні значення змінних.

Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Коефіцієнт кореляції r – це безвимірна симетрична характеристика, яка дає можливість виміряти тісноту кореляційного зв’язку між змінними.

Коефіціент кореляції має такі властивості

• може приймати значення з інтервалу[-1;1];

• при r=0 змінна х та у незв’язана лінійною кореляційною залежністю;

• при | r |=1 між змінними х та у існує лінійний функціональний зв'язок;

• зв'язок є тісним, якщо 0,7≤| r |≤0,9;

• зв'язок слабкий, якщо 0,2≤| r |≤0,4.

Коефіцієнт кореляції можна обчислити у наступний спосіб:

Використання математичних методів в економіці

З моменту свого народження людина використовувала математику в господарській діяльності. Тривалий час розвиток математики визначався здебільшого потребами природничих наук і внутрішньою логікою самої математики. Математика ж своєю чергою активно впливала на розвиток наук які її використовували: астрономію фізику, та технічні науки. Використання математичних методів в економіці цце не просто проведення математичних розрахунків,а використання математики як особливого засобу вивчення економічних закономірностей і отримання теоретичних та практичних висновків. В економічних дослідженнях математичні методи почали використовувати з 50хроків 20ст.

Багато вчених вважають що використання математики в економіці пов’язана з появою електронно-обчислювальної техніки. Проте використання математичних методів в економіці має глибоке історичне минуле. Першими вченими що почали застосовувати математику в економіці були англійський економіст Вільям Петті засновник класичної політекономії, Французький вчений Франсуа Кене котрий опублікував перший варіант «Економічної таблиці» - «зигзаг». «Економічні таблиці» Кене по суті являються першими у світі графічно числовими моделями ек. системи.

В межах економічної науки 19-20 століть виділяють три основні етапи розвитку економіко математ. досліджень:

- математична школа в політек. (30-ті рр 19 ст. –поч.20 ст.); -- статистичний напрям (поч.20ст.-30-ті рр. 20ст.);

Економетрія (30-ті рр. 20 ст. – до нашого часу)