5.3. Решение задач оптимального проектирования

5.3.1. Оптимизация параметров изделия

Каждый объект проектирования характеризуется структурой и параметрами. Структура, которая определяет элементы объекта проектирования и связи между ними, должна обеспечить на­дежное функционирование и достижение поставленных целей. Надо сказать, что понятие объекта проектирования и элемента является в известной степени относительным. Например, с точки зрения организации дорожного движения автомобиль представляет собой элемент, в то время как для завода автомо­биль — объект проектирования, а его составляющие — двига­тель, ходовая часть и т. д. — это элементы. В дальнейшем под элементом будем понимать такую составляющую объекта про­ектирования, структуру которой не будем рассматривать. Та­кую элементарную составляющую будем называть звеном. Ка­ждое звено характеризуется своими параметрами.

После введения этих понятий перейдем к рассмотрению задачи оптимизации параметров изделия. Эта работа производится по следующему алгоритму.

Алгоритм 3 Последовательность работ при оптимизации параметров изделия

1. Установить назначение изделия и его параметры.

2. Определить структуру изделия и зависимость параметров изделия от параметров звеньев.

3. Сформулировать задачу оптимизации.

4. Определить необходимые данные.

5. Записать задачу оптимизации в форме, необходимой для решения.

6. Решить задачу оптимизации.

7. Выполнить анализ решения задачи.

Этот алгоритм проиллюстрируем на следующем примере.

1. Назначение изделия, его параметры и структура.

Будем рассматривать проектирование изделия, предназна­ченного для преобразования информации. Принимаем, что это изделие характеризуется двумя параметрами:

техническим: Р — вероятностью безотказной работы;

экономическим: С — ценой изделия.

2. Структура изделия приведена на рис. 5.16, из которого вид­но, что изделие состоит из трех звеньев. Зависимости пара­метров изделия от параметров звеньев имеют вид:

Р = р₁р₂р₃. (5.13)

С = c₁ + с₂ + c₃ (5.14)

Звено 1 p₁; c₁

Звено 2 p₂; c₂

P_c= p₁p₂p₃

C_c= c₁ + c₂ + c₃

Звено 3 p₃; c₃

Рис. 5.16

3. Постановка задачи оптимизации.

Как мы знаем, возможны две постановки задач оптимального проектирования: (5.1) и (5.2). Наша задача в первой поста­новке имеет вид:

F₁ = C  min

C = f₁(c_i)

C_i = f₂(p_i) (5.15)

P = f₃(p_i)

P P_зад

во второй постановке:

F ₂ = C  max

P = f₃(p_i)

p_i = f₄(c_i) (5.16)

C = f₁(c_i)

C C_зад

4. Определение необходимых исходных данных.

Как следует из (5.15), (5.16), для решения задачи оптимиза­ции необходимо знать для каждого звена зависимости

P_i=f₄(c_i). i= (5.17)

Посмотрим, как можно определить искомые зависимости. Для определения зависимостей (5.17) следует:

• иметь статистические значения p_i, c_i;

• принять вид зависимостей (5.17);

• с помощью методов, рассмотренных в 5.2, определить ис­комые зависимости как уравнения регрессии.

Литература

1. Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Статистическое исследование одного алгоритма глобальной оптимизации. — Труды ФОРА, 2004.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. пец. вузов. — М.: Высшая школа, 1986.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.

4. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. - М.: Экономика, 1985.

5. Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука, Физматлит, 1991.

6. Карманов В.Г. Математическое программирование = Математическое программирование. — Изд-во физ.-мат. литературы, 2004.

7. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 2003.

8. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.

9. Кротов Ф.В. Основы теории оптимального управления. - М.: Высшая школа, 1990.

10. Лугинин О.Е., Фомишина В.Н. Экономико-математические методы и модели: теория и практика с решением задач – Ростов: Феникс 2009 – 440с.

11. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.

12. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.

13. Плотников А.Д. Математическое программирование = экспресс-курс. — 2006. — С. 171. — ISBN 985-475-186-4

14. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. — М.: 1968.

15. Хемди А. Таха Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. — 8 изд.. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 912. — ISBN 0-13-032374-8