5.7. Методика получения исходных данных

Если исходных данных, необходимых для определения уравнения регрессии нет, то их можно получить в результате проведения эксперимента. При этом прежде, чем его проводить, необходимо составить план его проведения, включающий два вопроса:

• какие значения следует назначать переменным в экспери­менте;

• в каком сочетании различным переменным должны назна­чаться принятые значения.

Определяя значения переменных, задаваемых при проведении эксперимента, удобно от их абсолютных значений х_j перейти к относительным y_j. Этот переход производится следующим об­разом:

(5.9)

(5.10)

(5.11)

где а_j, b — задаваемые граничные условия в задаче оптимизации:

a_j x_j b_j.

Если в (5.9) подставить x_j = a_j, то получим значение относи­тельной переменной j на нижней границе

Аналогично получим на верхней границе

y_j^ВГ=1.

Среднее значение

y_j^ср=0

Обратный переход от относительных значений к абсолютным, как это следует из (5.9), производится по зависимости

(5.12)

С точки зрения числа различных значении, которые назначают переменным в эксперименте, эксперименты бывают двух видов:

• двухуровневые;

• трехуровневые.

В двухуровневом эксперименте переменным придаются значе­ния . В результате такою эксперимента может быть определено уравнение только линейной регрессии, кого рая, как правило, не отражает фактические зависимости и по этому имеет низкое значение оценки достоверности R². Для получения достоверных уравнений регрессии следует прово­дить трехуровневые эксперименты, в которых переменным на­значаются три значения:y^НГ=-1, y^ср=0, y^ВГ=1. Таков ответ на первый вопрос.

Теперь перейдем ко второму вопросу: в каком сочетании сле­дует придавать установленные значения различным перемен­ным. Начнем с двух переменных. Возможные сочетания значе­ний переменных, для краткости будем их называть планом эксперимента, который для двухуровневого эксперимента при­веден на рис. 5.9, план трехуровневого эксперимента — на рис. 5.10.

N₂²=2²=4 N₂³=2³=8

N	y1	y2		N	y1	y2	y3
1	1	1		1	1	1	1
2	1	-1		1	1	1	-1
3	-1	1		3	1	-1	1
4	-1	-1		4	1	-1	-1
				5	-1	1	1
Рис. 5.9				6	-1	1	-1
				7	-1	-1	1
				8	1	-1	-1

Рис. 5.10

Из этих планов видно, что число проводимых экспериментов может быть определено по зависимости

Nⁿ_s=Sⁿ,

где S — число уровней,

n — число переменных.

Аналогичные планы эксперимента для трех переменных при­ведены для двухуровневого эксперимента на рис. 5.11, для трехуровневого — на рис. 5.12.

N	y1	y2		y3			N	y1	y2	y3
1	1	1		1			1	1	1	1
1	1	1		-1			2	1	1	0
3	1	-1		1			3	1	1	-1
4	1	-1		-1			4	1	0	1
5	-1	1		1			5	1	0	0
6	-1	1		-1			6	1	0	-1
7	-1	-1		1			7	1	-1	1
8	-1	-1		-1			8	1	-1	0
							9	1	-1	-1
	Рис. 5.11						10	0	1	1
							11	0	1	0
							…
							26	-1	-1	0
							27	-1	-1	-1

Рис. 5.12

Итак, с одной стороны мы знаем минимальное количество экспериментов, необходимое для определения коэффициентов в уравнении регрессии (5.7), с другой стороны - нам извест­но, как планировать двух- и трехуровневые эксперименты. Сравним эти величины. В таблице на рис. 5.13 приведены следующие значения:

n — число переменных,

М _ число коэффициентов, которые надо определить в урав­нении нелинейной регрессии, в виде полинома 2-й степени:

К — минимальное количество экспериментов, необходимое для вычисления коэффициентов в уравнении регрессии

К = М + 2,

2ⁿ - количество экспериментов в двухуровневом плане,

3ⁿ — количество экспериментов в трехуровневом плане.

n	M	2n	k	3n	Nнедост.	Nизлиш.
2	6	4	8	9	4	1
3	10	8	12	27	4	15
4	15	16	17	81	1	64
5	35	32	37	243	5	206

Рис. 5.13

Из рис. 5.13 видно, что минимально потребное число экспе­риментов К находится в пределах 2ⁿ < К < Зⁿ,

следовательно, для рассматриваемого вида уравнения регрессии двухуровневых экспериментов недостаточно, а трехуровневые в полном объеме являются излишними. Сравнение этих величин приведено в двух последних столбцах таблицы:

N_{недост.} = К – 2ⁿ.

N_изл.,=3ⁿ - K.

Таким образом, проведение трехуровневого эксперимента обеспечит получение исходных данных, достаточных для опре­деления коэффициентов регрессии, но возникает вопрос, как осуществить план эксперимента без проведения излишних экспериментов. Такие планы называются композиционными. Известен целый ряд подходов к их составлению. Для решения нашей основной задачи — определения ограничений в задаче оптимизации — наиболее подходящим является следующий:

1. Принять за основу план двухуровневого эксперимента.

2. Определить недостающее число экспериментов. n_{недост.} = К – 2ⁿ.

3. Вычисленное число недостающих экспериментов N_недост провести при среднем значении у= 0. В качестве примера на рис. 5.14 приведен композиционный план такого эксперимента для n=3

№	y1	y2	y3
1	1	1	1
2	1	1	-1
3	1	-1	1
4	1	-1	-1
5	-1	1	1
6	-1	1	-1
7	-1	-1	1
8	-1	-1	-1
9	0	0	0
10	0	0	0
11	0	0	0
12	0	0	0

Рис. 5.14

В этом плане первые 8 экспериментов представляют собой двухуровневый план, приведенный на рис. 5.12, а дополнительные 4 эксперимента про­водятся при средних значениях у = 0. В результате проведения экспери­мента по такому плану будет полу­чено количество исходных данных, необходимых для определения урав­нения регрессии в виде полинома 2-й степени. Аналогично могут быть составлены композиционные планы для любого числа переменных n. И, в заключение, приведем последова­тельность работ для получения не­обходимого количества исходных данных.

Алгоритм 2 Последовательность работ, необходимых для получения исходных данных

1. Определить число переменных n в задаче оптимизации.

2. Принять вид уравнения регрессии и установить число иско­мых коэффициентов и необходимых исходных данных.

3. Составить план проведения эксперимента для определения значений переменных.

4. Перейти к абсолютным значениям переменных х; по зави­симостям

xj=xjср+xj,

где xjср, xj определяются по (5.10) и (5.11). Составить таблицу для проведения эксперимента в форме рис. 5.15.

Таблица (рис. 5.15) составлена для трех переменных x1, x2, х3 и двух искомых функций, определяемых в результате экспе­римента у1, у2.

N	x1	x2	x3	y1	y2
1	b1	b2	b3
2	b1	b2	a3
3	b1	a2	b3
4	b1	a2	a3
5	a1	b2	b3
6	a1	b2	a3
7	a1	a2	b3
8	a1	a2	a3
9	x1ср	x2ср	x3ср
0	x1ср	x2ср	x3ср
1	x1ср	x2ср	x3ср
2	x1ср	x2ср	x3ср

Рис. 5.15

5. Провести эксперименты по принятому плану.

6. Для каждого сочетания значений x_j записать ре­зультат эксперимента для значений y₁, у₂.

Полученная таблица пред­ставляет собой исходные данные, необходимые для определения уравнения рег­рессии. Очевидно, что при­веденная методика дает воз­можность составить план эксперимента для любого количества переменных и определяемых функцией.