- •Введение
- •Тема 1 Математическое программирование и оптимизация
- •1.1 Эволюция развития математических методов и моделей в экономике
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей
- •1.3 Математическое программирование
- •1.4 Оптимизация в математике и ее методы
- •1.5 Метод Монте-Карло
- •1.5.1 Алгоритм Бюффона для определения числа Пи
- •1.5.2 Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений
- •1.5.3 Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе
- •1.5.4 Дальнейшее развитие и современность
- •1.5.5 Интегрирование методом Монте-Карло
- •1.5.6 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •1.5.7 Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •Тема 2 Линейное программирование
- •2.1 Общая задача линейного программирования
- •2.2 Основная задача лп (озлп)
- •2.3 Симплекс-метод линейного программирования
- •2.4 Двойственные задачи линейного программирования
- •2.5 Целочисленное линейное программирование
- •2.6 Параметрическое линейное программирование
- •2.7 Дробно-линейное программирование
- •2.8 Блочное программирование
- •2.9 Теория графов
- •2.10 Транспортная задача
- •2.10.1 Общая характеристика транспортной задачи
- •2.10.2 Математическая модель транспортной задачи
- •Тема 3 Нелинейное программирование
- •3.1 Методы нелинейного программирования
- •3.2 Метод множителей Лагранжа
- •3.3 Сепарабельное программирование
- •3.4 Выпуклое программирование
- •3.5 Квадратичное программирование
- •3.6 Геометрическое программирование
- •3.7 Динамическое программирование
- •3.8 Стохастическое программирование
- •Тема 4 Межотраслевой баланс и сетевое моделирование
- •4.1 Задача межотраслевого баланса
- •4.2 Балансовая модель Леонтьева
- •4.3 Модели межотраслевого баланса в планировании инновационных программ
- •4.3.1 Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель
- •1) Открытая однопродуктовая динамическая модель Леонтьева
- •2) Замкнутая однопродуктовая модель Леонтьева
- •4.4 Сетевая модель данных
- •4.4.1 Историческая справка
- •4.4.2 Основные элементы сетевой модели данных
- •4.4.3 Особенности построения сетевой модели данных
- •4.4.4 Операции над данными сетевой модели
- •4.4.5 Использование сетевой модели
- •4.5 Сетевой график
- •4.6 Методика составления сетевого графика
- •5. Задачи оптимального проектирования
- •5.1. Постановка задачи оптимального проектирования
- •5.1.1. Основные понятия и определения
- •5.2. Пример задачи оптимального проектирования
- •5.3. Классификация задач оптимального проектирования
- •Первая постановка
- •5.4 Определение уравнений линейной регрессии
- •5.7. Методика получения исходных данных
- •5.3. Решение задач оптимального проектирования
- •5.3.1. Оптимизация параметров изделия
3.2 Метод множителей Лагранжа
Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа. Пусть задана задача НП при ограничениях-равенствах вида
|
(3.1) |
при ограничениях
|
(3.2) |
Предположим, что все функции f, h1, h2, ..., hm - дифференцируемы. Введем набор переменных (число которых равняется числу ограничений), которые называются множителями Лагранжа, и составим функцию Лагранжа такого вида:
|
(3.3) |
Справедливо такое утверждение: для того чтобы вектор являлся решением задачи (3.1) при ограничениях (3.2), необходимо, чтобы существовал такой вектор , что пара векторов удовлетворяла бы системе уравнений
|
(3.4) |
|
|
(3.5) |
Покажем необходимость условий (3.4), (3.5) на простом примере:
|
(3.6) |
при ограничениях
Ограничения (3.7) определяют допустимую область S, которая представляет собой кривую в пространстве R(2) и является результатом пересечения h1(x) и h2(x).
Допустим, что рассматриваемая задача имеет точку минимума в S1: , функции f, h1, h2 имеют непрерывные производные первого порядка на некотором открытом множестве и градиенты
линейно независимы.
Если две переменные в уравнениях (3.7) можно выразить через третью в виде x2=U(x1), x3=V(x1), то подставив их в целевую функцию (3.6), преобразуем исходную задачу в следующую задачу без ограничений, которая содержит лишь одну переменную x1:
|
(3.8) |
Поскольку градиенты , непрерывны и линейно независимы, то можно применить известную теорему математического анализа о неявной функции и найти стационарную точку , а потом .
Приведенный подход можно в принципе распространить и на случай функции n переменных при наличии m ограничений-равенств:
|
(3.9) |
Если функции удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции, то m из n переменных уравнений (3.9) можно выразить через остальные (n-m) переменных, подставить их в f(x) и таким образом преобразовать задачу минимизаци с ограничениями в задачу безусловной минимизации с (n-m) переменными. Однако такой подход трудно реализовать на практике, поскольку очень трудно разрешить уравнения (3.9) относительно некоторых переменных. В общем случае это совсем невозможно.
Поэтому рассмотрим другой подход, который базируется на методе множителей Лагранжа.
Пусть x+ - точка минимума f(x), определяемого выражением (3.8). В соответствии с известной теоремой математического анализа о неявной функции можно записать
|
(3.10) |
Аналогичные соотношения получим для ограничений
|
(3.11) |
Запишем уравнения (4.10), (4.11) совместно в виде
|
(3.12) |
где
Поскольку вектор не является нулевым, то из (3.12) следует, что det A = 0. Из этого следует, что вектора-строки матрицы A должны быть линейно зависимы. Следовательно, существуют три таких скаляра a, b, c не все равные 0, что
|
(3.13) |
Скаляр а не может равняться 0, так как в соответствии с предположением и - линейно независимы. Поэтому после деления (4.13) на a, получим
|
(3.14) |
Таким образом, для задачи минимизации с ограничениями (3.6) существуют такие , для которых справедливо уравнение (3.14) и которые одновременно не обращаются в нуль. Итак, справедливость условий (3.4) для случая n=3 показана.
Таким образом, для отыскания минимума (3.6) при условиях (3.7) необходимо найти стационарную точку функции Лагранжа:
Для того чтобы найти искомые значения , необходимо решить совместно систему уравнений (3.14), (3.5). С геометрической точки зрения условие (3.14) означает, что лежит в плоскости, натянутой на векторы .
Теперь рассмотрим общий случай для произвольных n. Пусть задана задача НП в виде (3.1), (3.2), все функции , имеют непрерывные частные производные на множестве R(n). Пусть S(x)- подмножество множества R(n), на котором все функции , то есть . Тогда справедлива такая теорема о множителях Лагранжа.
Теорема 3.1. Допустим, что существует такая точка x+, в которой достигается относительный экстремум задачи НП (3.1) при условиях (3.2). Если ранг матрицы в точке x+ равен m, то существуют m чисел , не все из которых равны нулю одновременно, при которых
|
(3.15) |
Эта теорема обосновывает метод множителей Лагранжа, который состоит из следующих шагов.
1. Составляют функцию Лагранжа
2. Находят частные производные
3. Решают систему уравнений
|
(3.16) |
4. Отыскивают точки , удовлетворяющие системе (3.16).
Найденные точки x0 дальше исследуют на максимум (или минимум).