2.4 Двойственные задачи линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной к исходной.

Предположим, что в производстве используется m различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами b₁, b₂,.., b_m. И производится n различных видов продукции, величина выпуска которых определяется переменными х₁, х₂,…, х_n. Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции, образующие матрицу

Известна также стоимостная оценка (цена) единицы продукции каждого вида с₁, с₂,…, с_n.

Задача сводится к следующему: найти такие значения переменных х₁, х₂,…, х_n, при которых расход ресурсов не превышает заданного их количества, а стоимость всей продукции достигает максимума.

В математической форме задача записывается следующим образом: максимизировать

L = c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n (2.7)

при условиях (2.8)

0 (j=1, 2,.., n).

На базе тех же исходных данных может быть поставлена еще одна задача, в которой переменными величинами являются оценки у₁,у₂,…,у_m, приписываемые каждому виду ресурсов. Они должны быть такими, чтобы общая оценка всего имеющегося количества ресурсов была минимальной, но при условии, что суммарная оценка ресурсов, расходуемых

на единицу любого вида продукции, будет не меньше, чем цена за эту единицу.

Математическая задача записывается следующим образом: минимизировать

L = b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_m (2.9)

при условиях (2.10)

Задачи (2.7) – (2.8) и (2.9) – (2.10) образуют пару взаимодвойственных задач, и любая из них может рассматриваться как исходная.

Сосредотачивая внимание на экономическом содержании и размерности постоянных переменных величин рассматриваемых задач, можно записать следующие соотношения:

для прямой (исходной) задачи максимизируемая функция

ограничивающие условия

для двойственной задачи минимизируемая функция

ограничивающие условия

Эти задачи обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи, и наоборот.

3. В каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем в задаче, в которой ищется максимум целевой функции, все неравенства вида «», а в задаче, в которой находится минимум целевой функции, все неравенства вида «».

4. Коэффициенты при переменных системах ограничений записываются матрицами