3.6 Геометрическое программирование

В свою очередь обобщением задачи квадратичного программирования является задача геометрического программирования, в которой критерий оптимальности и ограничения представлены с помощью положительных полиномов (позиномов):

g_i(x) = ∑ c_ijx₁^α_ij1∙x₂^α_ij2…∙x_n^α_ijn (3.33)

где x_i > 0, c_ij > 0, α_ijk, k = 1,2,…, n — произвольные действительные числа.

Математическая формулировка задачи геометрического программирования заключается в минимизации позинома g₀ (х) при условии, что некоторые другие позиномы g_i (х) не превосходят единицы:

min g₀ (х) = min {∑c_0j ∏ x_k^α_0jk}

при условии, что

g_i (х) = {∑c_ij ∏ x_k^α_ijk ≤ 1, i = 1,2,…, n.

В частном случае от задачи геометрического программирования (с невыпуклыми ограничениями и критерием оптимальности) вида: min {c₀∏ x_k^α_0k}(3.34)

при условии, что

c_i ∏ x_k^α_ik ≤ 1, i = 1,2,…, m; x_k > 0, k=1,2,…, n, путем преобразования переменных нетрудно перейти к задаче линейного программирования. Прологарифмируем функции критерия оптимальности и ограничений и введем новые переменные z_k = ln x_k, k = 1, 2, …, n. Тогда исходной задаче будет эквивалентна следующая задача линейного программирования:

min {ln c₀ + ∑α_0kz_k} (3.35)

при условии, что

∑α_ikz_k ≤ – ln c_i, i = 1,2,…, m. (3.36)

Определение оптимального решения z* задачи линейного программирования (1.42) и переход к переменным исходной задачи с помощью преобразования х_k* = ехр (z_k*), k — 1, 2,…, n, позволяет найти глобальный-минимум задачи геометрического программирования (3.33).

Задача параметрической оптимизации с дополнительным требованием, чтобы управляемые параметры х принимали только дискретные значения, называется задачей дискретной оптимизации. Если все x_i должны быть целыми числами, то задача называется задачей целочисленного программирования, в противном случае — задачей частично целочисленного программирования.

В задачах оптимального проектирования часто возникает необходимость получить наилучшие (минимальные или максимальные) значения для нескольких характеристик проектируемого устройства, т. е. требуется найти такое оптимальное решение х* ∈ D, которое обеспечивает минимум одновременно по всем введенным частным критериям оптимальности Q_i (х), i = 1, 2, …, s. Обычно эти критерии противоречивы (уменьшение одних приводит к увеличению других). В связи с этим для совместного учета всей совокупности частных критериев необходимо рассматривать векторный критерий оптимальности Q(х)=(Q₁(х),Q₂(х),…,Q_s(х)), (3.37) приводящий к модели принятия оптимального решения, которая называется задачей векторной (многокритериальной) оптимизации: minQ(x), (3.38) где D= {x|g_i(x) ≥ 0, i = 1, 2, …, m}. (3.39)

Выражение (3.38) является сокращенной записью следующей модели принятия оптимального решения: Найти значения управляемых параметров х, которые обеспечивают одновременно минимальное значение по каждому из частных критериев оптимальности:

min Q₁(x); min Q₂(x);… min Q_s(x) (3.40)

при выполнении условий работоспособности проектируемого устройства g_i(x₁,x₂,…,x_n)≥0, i=1,2,…,m; (3.41) x_j^- ≤ x_j ≤ x_j⁺, j= 1, 2, …, n. (3.42)

Оптимальное решение х* задачи векторной оптимизации (1.47)— (1.49) в общем случае, не являясь оптимальным ни для одного из частных критериев Q(х) (в смысле постановки задачи параметрической оптимизации (1.25)—(1.27), должно быть компромиссным (в определенном смысле) для векторного критерия Q(х) в целом.

Одним из подходов к поиску компромиссного решения задачи векторной оптимизации является сведение ее к задаче параметрической оптимизации.