4. Векторный и тензорный анализ
Элементы тензорной алгебры. Векторы. Ковекторы. Линейные операторы. Понятие тензора.
Векторная функция скалярного переменного. Производная векторной функции скалярного переменного, выражение в координатах. Годограф. Понятие гладкой регулярной кривой. Длина дуги кривой. Векторная функция многих скалярных аргументов. Частные производные. Поверхность. Элементы дифференциальной геометрии поверхности: нормали и касательные.
Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Дифференцируемость скалярного поля, градиент. Производная скалярного поля по направлению. Связь градиента с производной по направлению. Алгебраические и геометрические свойства градиента. Вычисление градиента и производной по направлению в координатах. Система обозначений гамильтона.
Векторное поле. Дифференцируемость векторного поля, дифференциальный оператор. Производная векторного поля по направлению. Дивергенция векторного поля, свойства, вычисление в координатах. Поток векторного поля через поверхность. Теорема Гаусса – Остроградского. Выражение дивергенции через поток. Соленоидальные векторные поля и их признаки. Ротор векторного поля. Теорема Cтокса. Потенциальные векторные поля.
5. Дифференциальные и интегральные уравнения
Основные понятия. Интегрирование дифференциальных уравнений (ДУ) 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися множителями. Однородные ДУ. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Нормальные системы ДУ. Задача Коши для нормальной системы ДУ
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Общее решение ДУ. Метод Лагранжа. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Понятие краевой задачи для линейного уравнения 2-го порядка.
Линейные системы ДУ. Общее решение. Матричное решение. Метод вариации произвольных постоянных. Матрициант. Метод Эйлера в случае простых корней. Понятие устойчивости решений системы ДУ. Критерий устойчивости линейной системы.
Основные типы интегральных уравнений. Интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с малым ядром. Уравнение с вырожденным ядром. Уравнение Вольтерра.
6. Теория вероятностей и математическая статистика
События и вероятности. Аксиоматика Колмогорова. Свойства вероятностной меры. Условная вероятность и её свойства. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Законы распределения случайных величин и векторов. Случайные величины и векторы. Функция распределения и её свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения Бернулли и Пуассона и их характеристики. Равномерный, нормальный и показательный законы. Закон Коши. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа.
Числовые характеристики случайных величин и векторов. Математическое ожидание и его свойства. Математическое ожидание основных законов распределения. Дисперсия и её свойства. Дисперсия основных законов распределения. Ковариация и её свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Моменты.
Характеристические функции. Основные законы теории вероятностей. Характеристические функции и их свойства. Характеристические функции основных законов распределения. Основные типы сходимости случайных величин. Неравенство Чебышева. Законы больших чисел. Центральная предельная теорема.
Эмпирические характеристики и их свойства. Выборка. Обработка данных. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Стандартный и невырожденный многомерные нормальные законы. Распределение –квадрат. Распределение Стьюдента.
Теория оценок. Несмещенные и состоятельные оценки. Эффективные оценки. Достаточные оценки. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Доверительные интервалы. Проверка гипотез. Критерии согласия и критерии значимости.
Рекомендуемая литература
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 646 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, СПб;М.;Краснодар.: Лань, 2006.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
Ильин В.А. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
Лосик М.В. Лекции по векторному и тензорному анализу. Саратов: ИЦ «Наука», 2008.
Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.А.. Дифференциальные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ,2005.
Петровский И.Г.. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. образование, 2008.