2. Теория функций комплексного переменного
Элементарные функции комплексного аргумента. Комплексные числа и операции над ними. Предел и непрерывность функций комплексной переменной. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости, условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Элементарные функции и их свойства. Понятие конформного отображения. Дробно-линейная функция, степенная функция, функция Жуковского, показательная функция.
Свойства аналитических функций. Интеграл от функции комплексной переменной. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема об аналитичности суммы степенного ряда. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Лиувилля. Теорема единственности аналитической функции. Ряд Лорана и его область сходимости. Классификация изолированных особых точек. Вычет в конечной точке. Способы вычисления вычетов. Основная теорема о вычетах. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Рунге. Основная теорема алгебры. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов.
3. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Матрицы, определители, системы линейных уравнений. Матрицы и операции над ними: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц. Линейная зависимость и независимость матриц. Определители произвольного порядка и их свойства. Произвольные системы линейных уравнений: совместные и несовместные, определенные и неопределенные. Матричная запись системы. Формулы Крамера. Минор матрицы. Ранг матрицы.
Векторная алгебра. Векторы. Простейшие операции над ними и их свойства. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов в ориентированном пространстве. Двойное векторное произведение трех векторов.
Аналитическая геометрия. Векторная, аффинная и декартова система координат на плоскости и в пространстве. Криволинейные системы координат: полярная на плоскости, сферическая и цилиндрическая – в пространстве. Формулы преобразования криволинейных координат в декартовы и обратно. Основные формулы аналитической геометрии: координаты вектора, определяемого парой точек; расстояние между двумя точками; формулы деления отрезка в заданном отношении; косинус и синус угла между векторами; площадь треугольника; объем параллелепипеда и тетраэдра.
Различные виды уравнений прямой на плоскости, плоскости в пространстве, прямой в пространстве.
Фигуры в пространстве: цилиндры, фигуры вращения и конусы. Уравнение окружности и сферы. Классификация фигур на алгебраические и трансцендентные. Сохранение степени многочлена при невырожденном линейном преобразовании переменных. Порядок алгебраической фигуры.
Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола. Фигуры второго порядка в пространстве: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды и конусы второго порядка. Их канонические уравнения и свойства.
Линейные пространства и линейные отображения. Алгебраические группы, кольца и поля. Линейное пространство, его аксиомы и простейшие следствия из них. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов, её свойства и размерность. Линейные отображения (линейные операторы), их определение и простейшие свойства. Образ и ядро линейного оператора. Изоморфизм линейных пространств и теорема об изоморфизме. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.