- •Глава XIV теория вероятностей
- •Раздел I
- •Случайные события
- •§ 1. Предмет теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности
- •Виды случайных событий
- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Статистическое определение вероятности
- •Непосредственное вычисление вероятностей
- •§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 5. Формула полной вероятности
- •§ 6. Формула Бейеса
- •§ 7. Схема Бернулли
- •Раздел II случайные величины § 1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения
- •§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Примеры решения задач
- •§ 3. Примеры распределения случайных величин
- •3.1 Биномиальное распределение
- •3.2 Распределение Пуассона
- •3.3 Нормальное распределение
- •3.4. Равномерное распределение
- •3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •§ 4. Система случайных величин
- •§ 5. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •§ 6. Закон больших чисел. Теорема Чебышева
- •§ 7. Центральная предельная теорема Ляпунова
3.4. Равномерное распределение
Определение. Распределение непрерывной случайной величины, заданное дифференциальной функцией распределения
(6)
называется равномерным распределением на отрезке .
График функции (6) изображен на рис. 14.2.
Интегральный закон равномерного распределения имеет следующий вид:
(2)
График функции (7) изображен на рис. 14.3.
Имеют место следующие случаи:
а ) (рис. 14.4),
;
б) (рис. 14.5),
;
в) (рис. 14.6),
.
Если , , то .
Моделью равномерного распределения может служить пример с рулеткой (см. выше).
Теорема. Если – равномерно распределенная непрерывная случайная величина на отрезке , то
, , (8)
3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение
Определение. Распределение непрерывной случайной величины , заданное дифференциальной функцией распределения
(9)
где – некоторый параметр, называется показательным (экспоненциальным) распределением.
График функции (9) изображен на рис. 14.7.
Интегральная функция распределения показательной величины имеет вид:
(10)
Действительно,
Вычислим показательной случайной величины.
а) :
;
б) :
;
в) :
.
Теорема. Если – показательная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (9), то
, , (11)
§ 4. Система случайных величин
Пусть в результате некоторого испытания случайные величины и принимают значения и . Эта пара чисел задает точку на плоскости. По аналогии с интегральной функцией распределения одной случайной величины можно рассматривать функцию , равную вероятности .
Функция
(1)
называется интегральной функцией распределения системы двух случайных величин и .
Аналогично, интегральная функция совместного распределения случайных величин есть по определению функция
. (2)
Как видно из рис. 14.8, функция выражает вероятность попадания точки в заштрихованную область.
С помощью интегральной функции распределения можно вычислить вероятность того, что пара значений величин и будет удовлетворять неравенствам и , т.е. принадлежать прямоугольнику (рис. 14.9), а именно
. (3)
Аналогом дифференциальной функции распределения случайной величины для пары случайных величин является функция
. (4)
Можно доказать, что
(5)
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , .
Функция называется плотностью вероятности системы величин и .
Формула (5) оправдывает такое название функции ( есть вероятность, отнесенная к единице площади).
Пусть – область на плоскости переменных , и требуется найти вероятность , т.е. вероятность того, что значения пары случайных величин и определят координаты некоторой точки из .
Разобьем область на малые прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат (рис. 14.10). Тогда искомая вероятность (в соответствии с формулой (5)) будет приближенно равна сумме
,
г де , – координаты левой нижней вершины прямоугольника с номером . Предел этой суммы (если он существует) по определению равен двойному интегралу
.
Таким образом, получаем формулу
. (6)
Формула (6) есть двумерный аналог формулы .
Из формулы (6) следует, что
,
поскольку в этом случае двойной интеграл означает вероятность достоверного события .
Замечание. По аналогии с одномерной случайной величиной функции и обладают следующими свойствами:
1. ;
2. – неубывающая по аргументу функция;
3. , т.к. – достоверное событие;
, т.к. – достоверное событие;
4. ;
5. ;
6. .
Рассмотрим теперь совместное распределение двух дискретных случайных величин. Пусть и – значения случайных величин и , а и – соответствующие им вероятности; пусть означает вероятность совместного наступления событий , . Соответствие называется совместным распределением пары дискретных случайных величин.
Закон совместного распределения двух случайных величин часто изображают с помощью таблицы:
-
…
…
…
…
…
…
Т.к. события , ; образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события , , …, несовместны, поэтому по теореме сложения
.
Таким образом, для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности столбца . Аналогично, для того, чтобы найти вероятность , нужно просуммировать вероятности -ой строки.
Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:
.
Доказательство.
а) Необходимость. Пусть и – независимы. Тогда события и независимы. Следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению вероятностей, т.е.
.
б) Достаточность. Пусть
и – независимые события, следовательно, и – независимые величины.
Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих:
.