Глава xvматематическая статистика § 1. Задачи математической статистики
Практическое изучение случайной величины часто происходит в следующих обстоятельствах: закон распределения и характеристики случайной величины (или системы случайных величин) неизвестны, однако известны результаты некоторого количества испытаний этой величины.
Представляет
интерес задачи нахождения функции
распределения случайной величины (или
системы случайной величины) и числовых
характеристик распределения (
,
,
)
по опытным данным. Этими задачами и
занимается математическая статистика.
Нахождение функции распределения по опытным данным требует большого объема статистического материала, часто очень большого. В таких случаях задачу нахождения функции распределения упрощают и пытаются дать ответ на вопрос – верно ли, что исследуемая случайная величина распределена по тому или иному конкретному закону распределения.
Разумеется, нельзя рассчитывать на категорический ответ: речь идет о том, насколько опытные данные согласуются или находятся в противоречии с гипотезой о распределении. Это также требует значительного объема статистического материала. Однако, известны многие прикладные задачи, в которых на основе имеющихся опытных данных можно получить ответ на поставленный вопрос. Такие постановки задач носят название “статистическая проверка гипотез”.
Существуют задачи, в которых вид функции распределения исследуемой случайной величины известен, а неизвестными являются только параметры распределения. Например, из общих соображений иногда бывает ясно, что изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение, в этом случае для полного описания закона распределения нужно вычислить (точнее – оценить) математическое ожидание и дисперсию.
Наконец, сравнительно простыми и в тоже время важными в практическом отношении являются задачи оценки характеристик распределения – в основном математического ожидания и дисперсии. Рассматривают оценки характеристик распределения двух видов: точечнуюиинтервальную.
Точечная оценкаявляется довольно грубой – ее смысл, что исследуемая характеристика приближенно равна вычисленному значению.
Интервальная оценкасодержит больше информации, ее смысл состоит в том, что исследуемая характеристика принадлежит найденному интервалу с определенной (т.е. вычисленной в результате исследования) вероятностью.
§ 2. Выборочный метод
2.1 Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.
Определение.Выборочной совокупностьюили простовыборкойназывают совокупность случайно отобранных объектов.
Определение. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Определение. Объемомсовокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
Выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
Определение. Повторнойназывают выборку, при которой отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.
Определение. Бесповторнойназывают выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно ее представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. быть репрезентативной(представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается.