§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства

			…
			…

Определение 1. Пусть – дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

(1)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

. (2)

Определение 2. Пусть – непрерывная случайная величина и – ее дифференциальная функция распределения. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

(3)

(имеется ввиду, что интеграл (3) сходится).

Математическое ожидание, как дискретной, так и непрерывной случайной величины, имеет следующий вероятностный смысл.

Пусть проведено испытаний, в результате чего получены значения случайной величины : , , …, . Среднее арифметическое этих чисел при больших близко к .

Поясним вышесказанное на примере дискретной случайной величины . Если имеет распределение (1), то в результате испытаний ( – большое) мы получим раз значение , раз – значение , …, раз – значение . Среднее арифметическое полученных в результате испытаний значений равно:

.

В связи с этим математическое ожидание называют также средним значением случайной величины.

Замечание. Математическое ожидание является постоянным, не зависящим от опыта числом, характеризующим определенное свойство случайной величины, а именно – устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений.

Свойства математического ожидания

1. , где .

2. для произвольных случайных величин и (зависимых или независимых).

3. для любой случайной величины и произвольного числа .

4. для независимых случайных величин и .

Определение 3. Пусть – дискретная случайная величина с распределением (1). Дисперсией дискретной случайной величины называется число:

, (4)

где – математическое ожидание случайной величины .

Определение 4. Пусть – непрерывная случайная величина и – ее дифференциальная функция распределения. Дисперсией непрерывной случайной величины называется число:

(5)

(если интеграл сходится), – математическое ожидание случайной величины .

Данные выше определения можно объединить следующим образом: дисперсия случайной величины есть математическое ожидание случайной величины .

Истолкование дисперсии случайной величины как математического ожидания квадрата отклонения от позволяет описать вероятностный смысл дисперсии следующим образом.

Дисперсия характеризует среднее значение квадрата отклонения значений от ее математического ожидания. Чем больше эти отклонения по абсолютной величине, тем больше дисперсия, и обратно. Дисперсия измеряет меру рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания .

Свойства дисперсии

1. , где .

2. для любой случайной величины и произвольного числа .

3. для независимых случайных величин и .

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, т.е.

. (6)

Доказательство.

.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из ее дисперсии, т.е.

. (7)

Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, является мерой рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и случайная величина , в то время как дисперсия имеет измерение . Поэтому иногда предпочтительнее иметь дело с , а не с .

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

.

Доказательство.

Пусть .

.