§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение. Два события и называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (1)

Доказательство.

Событие наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: , , .

По теореме сложения несовместных событий имеем:

. (2)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий и . Отсюда:

. (*)

Аналогично

. (**)

Тогда

, и

.

Замечание. Если события и несовместны, то – невозможное событие и . Формула (1) в этом случае принимает вид:

.

§ 5. Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий , , …, и условные вероятности , , …, события . Ответ на вопрос как при этом найти вероятность события дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

. (1)

Доказательство.

По условию, событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий , , …, . Другими словами, появление события означает осуществление одного из несовместных событий , , …, . По теореме сложения имеем:

.

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.

Пример.

Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и две коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна – 0,8 , а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что взятая деталь стандартная.

Решение.

Событие – “взятая деталь стандартная”;

событие – “взята коробка завода № 1”, ;

событие – “взята коробка завода № 2”, ;

(вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии, что выбрана коробка завода № 1);

(вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии, что выбрана коробка завода № 2).

.

§ 6. Формула Бейеса

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их обычно называют гипотезами. Вероятность появления события при этом определяется формулой полной вероятности:

.

Допустим, что произведено испытание, и в результате него появилось событие . Поставим задачу определить, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие уже наступило, т.е. будем искать условные вероятности , , …, .

По теореме умножения имеем:

.

Отсюда

или

. (1)

Аналогично получаем:

, . (2)

Формула (2) называется формулой Бейеса. Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания (появилось событие ).

Пример.

Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке удовлетворяющим стандарту, действительно стандартно.

Решение.

Событие – “изделие признано стандартным”,

гипотеза – “изделие стандартно”, ,

гипотеза – “изделие нестандартно”, .

(изделие признано стандартным, при условии, что оно действительно стандартно),

(изделие признано стандартным, при условии, что оно нестандартно).

Нас интересует вероятность . По формуле Бейеса имеем:

.