Примеры решения задач

Пример 1.

Пусть – количество очков при бросании игральной кости. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение. Закон распределения имеет вид:

	1	2	3	6	5	6
							1

.

Дисперсию вычислим по формуле:

.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	1	4	9	16	25	36
							1

,

,

.

Пример 2.

Случайная величина – задана дифференциальной функцией распределения в интервале . Вне этого интервала . Найти математическое ожидание величины .

Решение.

Для . Если .

Для

.

Пример 3.

Найти дисперсию случайной величины , заданной интегральной функцией

Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения случайной величины :

.

.

Пример 4.

Дана функция

Определить, при каком значении функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины . Определить это значение , найти и .

Решение.

– плотность некоторой случайной величины .

.

.

.

.

, .

§ 3. Примеры распределения случайных величин

3.1 Биномиальное распределение

Определение. Распределение случайной величины , равной количеству появлений события в схеме Бернулли из испытаний, называется биномиальным распределением.

В этом распределении значению случайной величины соответствует вероятность , где – вероятность наступления события в одном испытании, а .

Теорема. Пусть – случайная величина с биномиальным распределением. Тогда

, , .

Доказательство.

Т.к. биномиальное распределение дискретно, имеем:

Очевидно, что , где – случайная величина, равная количеству наступлений события в -ом испытании. Все независимы и имеют закон распределения:

О

0	1

тсюда .

.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

,

,

.

3.2 Распределение Пуассона

Определение. Распределение случайной величины , принимающей значения с вероятностями , где – некоторый параметр, называется пуассоновским распределением или распределением Пуассона.

Теорема. Пусть – случайная величина, подчиненная пуассоновскому закону распределения. Тогда

, , .

Доказательство.

Т.к. пуассоновское распределение дискретно, имеем:

.

.

.

3.3 Нормальное распределение

Определение. Распределение непрерывной случайной величины , заданное дифференциальной функцией распределения

, (1)

где и – некоторые параметры, называется нормальным распределением.

Теорема. Если – нормально распределенная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (1), то

, , .

Теорема устанавливает, таким образом, вероятностный смысл параметров нормального распределения.

Нормальное распределение (нормальная случайная величина) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и в приложениях теории вероятности к практическим задачам.

Эта роль объясняется установленным фактом. Если известно, что изучаемая случайная величина складывается из большого количества случайных величин, каждое из которых оказывает лишь небольшое влияние на всю сумму, то можно считать, что распределена нормально.

Например, ошибка, допускаемая при измерении какой-либо физической величины, складывается, по-видимому, из большого числа ошибок, вызванных многочисленными причинами. Поэтому, как правило, случайная ошибка измерения имеет нормальное распределение.

Рассмотрим нормальное распределение более подробно.

График функции (1) изображен на рис. 14.1. Его можно получить из “стандартного графика” нормального распределения ( , ) сдвигом на единиц вправо, с последующим растяжением по горизонтали относительно оси симметрии в раз. Функция табулирована. Она упоминается в формулировке локальной теоремы Муавра-Лапласа. Кривая симметрична относительно прямой . Точка является точкой максимума функции, а точки – точками перегиба. Чем больше , тем кривая положе.

Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (1), имеет вид:

. (2)

Интеграл (2) нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Однако удобно выразить через табулированную функцию Лапласа:

. (3)

Именно,

. (4)

По интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем:

(5)

или

, где .

Пример.

Величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что примет значение в интервале .

Решение.

.

Функция быстро убывает при . Площадь под всей кривой равна 1. Площади криволинейных трапеций над интервалами , и равны соответственно , , . Таким образом, почти вся площадь под кривой сосредоточена над интервалом . Поскольку площадь криволинейной трапеции численно равна вероятности того, что случайная величина примет значение в соответствующем интервале, имеем

.

Это утверждение составляет содержание правила “трех сигм” для нормального распределения: практически достоверно, что нормальная случайная величина с параметрами и принимает значения в интервале . Слова “практически достоверно” означают – с вероятностью .