5. Уравнения Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона закона Ампера- циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру Г равна току , пронизывающему данный контур: В качестве контура Г может быть взят любой замкнутый контур, охватывающий ток один раз. Причем, под током понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока внутри контура Г может быть неравномерным. Поэтому , где S - произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; , - орт нормали к поверхности S, образующий правовинтовую систему с направлением обхода контура, а - вектор плотности тока проводимости: . Здесь - единичный вектор, показывающий направление тока; - ток, протекающий через площадку , перпендикулярную к вектору . Итак, получаем: . Это уравнение, справедливое в случае постоянных токов и поля, оказывается неверным в случае переменных процессов.Плотность тока смещения определяется формулой .Ток проводимости - это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электрического поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов. первое уравнение Максвелла в интегральной форме, выражающее обобщенный закон полного тока принимает вид:

4.1. Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся теоремой Стокса:

4.2.Так как S - произвольная поверхность, то равенство 4.2 возможно только в том случае, если 4.3.Равенство 4.3 называют первым уравнением Максвелла.

4.4

Второе уравнение Максвелла. является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея: если замкнутый контур Г пронизывается переменным магнитным потоком , то в контуре возникает э.д.с.  , равная скорости изменения магнитного потока , где знак - в правой части означает, что возникающая в контуре э.д.с. всегда как бы стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего данный контур - "правило Ленца". второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид: Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения 4.5 можно внести под знак интеграла. Преобразовывая левую часть 4.5 по теореме Стокса, получаем:

4.6.Так как S - произвольная поверхность, равенство 4.6 возможно только в том случае, если 4.7 .

4.8

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Остроградского - Гаусса. Этот закон связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри этой поверхности: где , - орт внешней нормали к поверхности S .Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности V . Поэтому в общем случае 4.10.где - объемная плотность электрического заряда. Уравнение 4.10 обычно называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме.

Для перехода к дифференциальной форме преобразуем левую часть уравнения 4.10 по теореме Остроградского - Гаусса. 4.11. Равенство 4.11 выполняется при любом объеме V. Это возможно лишь в том случае, если 4.12. Соотношение 4.12 принято называть третьим уравнением Максвелла. В прямоугольной системе координат x,y,z уравнение 4.12 записывается в виде:

4.13.Из равенства 4.12 следует, что дивергенция вектора отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные заряды. В этих точках линии вектора имеют начало или конец . Линии вектора начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.В отличие от вектора , истоками вектора могут быть как свободные, так и связанные заряды. Подставляя соотношение 3.7 в уравнение 4.12, получаем:

4.14. Второй член в правой части 4.14 имеет смысл объемной плотности зарядов возникающих в результате неравномерной поляризации среды, т.е.

4.4. Четвертое уравнение Максвелла.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с законом Остроградского - Гаусса для магнитного поля- Поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен нулю:

4.17. Это означает, что не существует линий вектора , которые только входят в замкнутую поверхность / или, наоборот, только выходят из поверхности / : они всегда пронизывают ее.

Уравнение 4.17 называют четвертым уравнением Максвелла в интегральной форме. К дифференциальной форме можно перейти с помощью теоремы Остроградского - Гаусса так же, как это было сделано в случае третьего уравнения Максвелла. В результате получим четвертое уравнение Максвелла:

4.18

Оно показывает, что в природе отсутствуют магнитные заряды. Из этого уравнения также следует, что линии вектора / силовые линии магнитного поля / являются непрерывными.