Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие

1. Разложить знаменатель на простейшие вещественные множители. В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это разложение может содержать линейные и квадратичные множители .

2. Составить согласно теореме (IV.1) формулу разложения дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами .

3. Привести обе части формулы разложения к общему знаменателю (умножить обе части равенства на ) и приравнять числители.

4. В полученном тождестве приравнять коэффициенты при одинаковых степенях ; получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. (Число этих уравнений должно быть равно числу неизвестных ).

5. Решить эту систему (система имеет единственное решение) и подставить найденные коэффициенты в формулу разложения.

Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

Теперь мы на нескольких примерах укажем наиболее употребительные способы определения коэффициентов, стоящих в числителях тех простейших дробей, на которые разлагается данная рациональная дробь.

Корни знаменателя вещественные числа

Задача IV.1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

▲ Данная дробь правильная .

Разлагаем знаменатель на множители:

.

Так как корни знаменателя вещественные и различные, то на основании формулы (IV.1) разложение дроби на простейшие будет иметь вид

.

Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, и приравнивая числители в его левой и правой частях, получим тождество

.

Замечание. Для вычисления значения многочлена в левой части эффективнее использовать схему Горнера.

Неизвестные коэффициенты найдем способом задания частных значений. Так как полученное равенство – тождество, то оно сохраняется при любом значении . Будем давать такие значения, чтобы в правой части все члены, кроме одного, обращались в нуль. Такими «выгодными» значениями являются, очевидно, корни знаменателя, т. е. значения .

И искомое разложение имеет вид

. ▼

Укажем, что способ задания частных значений для определения неизвестных коэффициентов особенно удобен в том случае, когда знаменатель дроби содержит только вещественные множители первой степени, среди которых нет равных.

В других случаях способ задания частных значений также дает сокращение вычислений, так как позволяет избежать решения системы уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных.

Некоторые корни знаменателя кратные

Задача IV.2. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

▲ Данная дробь правильная .

1) Знаменатель уже разложен на множители и имеет два различных вещественных корня: кратности 3 и .

2) Разложение данной дроби на простейшие имеет вид

.

3) Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, и приравнивая числители в его левой и правой частях, получим тождество

.

В правой части произведем умножение двучленов и получим

.

Это равенство можно переписать иначе, расположив многочлен в правой части по убывающим степеням :

.

4) Для определения неизвестных коэффициентов применим способ частных значений в сочетании со способом неопределенных коэффициентов (будем в дальнейшем называть его комбинированным). Напоминаем, что написанное равенство является тождеством: оно остается верным при любом значении . Принимая и , мы сможем определить два коэффициента. Далее сравним коэффициенты в левой и правой части тождества. В результате имеем:

Искомым разложением будет

. ▼