Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Н. Веретенников

Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл

Р Г Г М У

Санкт-Петербург

2007

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Определенный интеграл. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 30 с.

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

© Веретенников В. Н.

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

Предисловие

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

2. Привитие навыков современных видов математического мышления.

3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Определенный интеграл"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов

1. Понятие определенного интеграла

Определение 1. Разбиением отрезка , называется конечная система точек этого отрезка такая, что .

Отрезки называются отрезками разбиения .

Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения .

Определение 2. Говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками отрезка , если имеется разбиение отрезка и в каждом из отрезков разбиения выбрано по точке .

Набор обозначается одним символом .

Пусть функция определена на отрезке , где . Если:

1. на отрезок нанести разбиение с отмеченными точками,

2. вычислить значения функции в отмеченных точках и

3. составить сумму

,

то она называется интегральной суммой функции на отрезке .

Геометрически сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, в основании которых лежат частичные отрезки , а высоты равны .

По-разному деля отрезок на частичных отрезков и по-разному выбирая в них отмеченные точки, можно для всякой заданной функции и всякого заданного отрезка составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании и при стремлении к нулю параметра разбиения, имеют один общий предел.

Определение. Число называется пределом интегральных сумм функции на отрезке , если для любого числа найдется число такое, что для любого разбиения отрезка на части с длинами для всех (т. е. ), неравенство будет выполняться при любом выборе точек .

Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись

.

Число зависит от выбора числа , и поэтому иногда пишут .

Определение. Если при любых разбиениях отрезка на частичные отрезки и при любом выборе точек в них, интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел , то этот предел называют определенным интегралом в смысле Римана от функции по отрезку .

Обозначение: .

Итак, по определению

.

Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла; называется переменной интегрирования; – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.

Так как определенный интеграл определен нами при условии, что , то дополним его определение следующими соглашениями: будем считать, что

1. если , то ;

2. если , то .