Решение задачи III типового варианта

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями .

▲ Найдем точки пересечения данных кривых:

.

Сделаем чертеж.

y

1 B

A

O 1 dx e x

1. Имеем: .

2. Пусть область правильная относительно оси :

3. 

. ▼

Решение задачи IV типового варианта

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами .

▲ – парабола, строится по трем точкам:

Вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью .

.

– парабола. Вершина определяется из условия .

.

Точек пересечения с осью нет .

Находим точки пересечения данных парабол:

.

y

A

C D

B

dx x

1. Дифференциал объема:

.

2. Пределы определяем из решения системы (пересечения парабол): .

3. . ▼

Знания и умения, которыми должен владеть студент

1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок

1. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции.

2. Определенный интеграл (по Риману) как предел интегральных сумм. Достаточные условия существования определенного интеграла.

3. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

4. Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность, дифференцируемость.

5. Определение и вычисление длины дуги плоской кривой (в декартовых, полярных координатах, при параметрическом задании).

6. Технология сведения геометрических задач вычисления аддитивных величин к определенному интегралу. Вычисление площадей плоских областей.

7. Несобственные интегралы 1-го и 2-го родов. Сходимость интеграла. Распространение на эти интегралы формулы Ньютона-Лейбница, методов интегрирования подстановкой и по частям.

2. Знания на уровне доказательств и выводов

1. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

2. Формула интегрирования по частям.

3. Необходимое условие существования определенного интеграла.

4. Свойства определенного интеграла (выборочно).

5. Теорема о среднем.

6. Производная интеграла с переменным верхним пределом.

7. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

9. Вычисление объемов тел вращения.

3. Умения в решении задач

Студент должен уметь:

1. Вычислять простые определенные интегралы, используя формулу Ньютона-Лейбница, замену переменной, формулу интегрирования по частям.

2. Вычислять по определению или устанавливать сходимость (расходимость) несобственных интегралов.

3. Строить и использовать формулы для нахождения площадей, длин дуг плоских кривых.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Структурированная программа (базис). Типовые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов. Учебное пособие. – СПб.: СПБГТУ, 2001. – 56 с.

2. Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1, 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 328 с.

3. Зорич В. А. Математический анализ, часть 1. – М.: Наука, 1981. – 544 с.

4. Веретенников В. Н. Математический анализ: Учебное пособие (рукопись). – СПб.: РГГМУ, 2006.

5. Рябушко А. П. и др. Сб. индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1990. – 270 с.

6. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. – М.: Высш. шк., 2000.

7. Кузнецов Л. А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высш. шк., 1986.