Рационализация подынтегральной функции

Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, сведя эту функцию при помощи некоторой подстановки к функции рациональной. Этот прием называется рационализацией подынтегральной функции, а упомянутая подстановка – рационализирующей подстановкой.

с) Интегралы вида

,

где – рациональная функция, – рациональные числа.

Интегралы этого вида приводятся к интегралу от рациональной функции

Подстановкой ,

где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей

.

Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) ;

1. ▲

. ▼

2. ▲

. ▼

д) Интегралы более общего вида

или

где – рациональная функция, – рациональные числа.

Интегралы этого вида приводятся к интегралу от рациональной функции

Подстановкой ,

где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей

.

Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1. ▲

. ▼

2. ▲

.

е) Интеграл от дифференциального бинома, т. е. интеграл

,

где – рациональные числа, – постоянные, отличные от нуля. Подынтегральное выражение называется дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом.

Интеграл от дифференциального бинома можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок П. Л. Чебышева в следующих трех случаях:

1. Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;

2. Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;

3. Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .

Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1. ▲

. ▼

2. ▲

. ▼

3. ▲

. ▼

4. ▲

. ▼

ж) Тригонометрические подстановки

Если подынтегральное выражение содержит квадратные корни из квадратных двучленов, то замена корня новой переменной нецелесообразна

.

В интегралах такого типа необходимо применять тригонометрические подстановки с целью освободиться от радикала, опираясь на известные тригонометрические тождества.

№	Общий вид интеграла	Тригонометрическая подстановка	Чем заменяется корень	Чем заменяется
1
2
3

Иногда для этих интегралов целесообразна подстановка .

Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ;

4) .

1. ▲

. ▼

2. ▲

. ▼

3. ▲

. ▼

4. ▲

. ▼

Решение задач 27, 28, 25 типового варианта

Найти неопределенные интегралы.

1. ▲

. ▼

2. ▲

240

. ▼

3. ▲

. ▼