VI. Интегрирование разных функций

Ранее рассматривались в основном интегралы определенного типа и соответствующие способы их нахождения. Найти – значит определить тип интеграла и избрать наиболее эффективный способ решения. Сначала остановимся на некоторых общих положениях, а затем приведем соответствующие примеры.

Встречаются случаи, когда один и тот же интеграл можно найти различными способами. Ясно, что в первую очередь следует применить тот способ, который быстрее приведет к окончательному результату ( в частности, способ подведения под знак дифференциала).

При нахождении заданного интеграла иногда необходимо сначала сделать замену переменной, а затем уже применить соответствующий способ интегрирования.

Многие интегралы с разными по виду подынтегральными функциями находят с помощью интегрирования по частям.

Решение ряда прикладных задач связано с нахождением неопределенных интегралов, при этом не всегда встречаются интегралы рассмотренных видов или которые приведены в справочниках. Еще требуется выполнить некоторые тождественные преобразования, чтобы перейти от рассматриваемого интеграла к интегралу известного типа (особенно это относится к интегралам, содержащим тригонометрические и гиперболические функции).

Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции, аналогично интегрированию выражений, содержащих тригонометрические функции, и часто связано с применением формул:

.

В процессе обучения и в практической деятельности возникает необходимость обращаться к справочникам, содержащим таблицы интегралов.

Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

Интегралы вида

.

Применим подстановку . .

Данный интеграл сводится к интегралу вида .

Задача 2. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному

Задача 3. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲ Способ 1.

.

Способ 2. .

Способ3. . ▼

2) ▲ Способ 1.

.

Способ 2.

.

Способ 3.

. ▼

Знания и умения, которыми должен владеть студент

1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок

1. Первообразная.

2. Неопределенный интеграл, свойства.

3. Таблица неопределенных интегралов.

4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

5. Интегрирование по частям. Некоторые классы функций, интегрируемых по частям.

6. Интегрирование простейших элементарных дробей.

7. Интегрирование рациональных дробей.

8. Интегрирование функций .

9^*. Интеграл от дифференциального бинома.

10. Определение неберущегося интеграла. Примеры.

2. Знания на уровне доказательств и выводов

1. Свойства неопределенного интеграла.

2. Теорема о замене переменной.

3. Формула интегрирования по частям.

3. Умения в решении задач Студент должен уметь:

1. Сводить интегралы к табличным.

2. Подбирать нужную замену переменной в интегралах известных типов.

3. Интегрировать простейшие рациональные и иррациональные выражения, содержащие квадратный трехчлен.

4. Интегрировать по частям. Знать классы функций, интегрируемых по частям.

5. Интегрировать рациональные дроби.

6. Сводить интегралы от некоторых иррациональных выражений к интегралам от рациональных функций.

7. Интегрировать простейшие тригонометрические функции и функции вида .