3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины

Кроме среднего квадратического отклонения , иногда применяют другие характеристики разброса случайной величины: среднее и вероятное отклонения.

Среднее отклонение   — это центральный абсолютный момент первого порядка

.

Вероятным отклонением r называют величину, равную половине длины участка, симметрично расположенного относительно математического ожидания, вероятность попадания на который равна 0,5. Вероятное отклонение находят из условия:

.

Для нормального закона распределения случайной величины Х имеют место следующие соотношения:

и .

Выполнение этих соотношений свидетельствует о близости закона распределения исследуемого статистического ряда к нормальному закону распределения (см. раздел II).

4 Элементы математической статистики

4.1 Основные задачи. Понятия

Математическая статистика — наука, которая занимается разработкой методов приближённого решения вероятностных задач на основе статистических данных.

Основные задачи математической статистики:

1. Определение закона распределения случайной величины — задача сглаживания или выравнивания статистического ряда;

2. "Задача проверки правдоподобия гипотез", тесно связанная с первой задачей, позволяет ответить на вопрос: согласуются ли результаты опыта с гипотезой о подобранном законе распределения вида  (для ответа на этот вопрос служат "критерии согласия");

3. Задача об определении наилучших оценок неизвестных параметров, например, параметров и и задача оценки точности этих оценок.

Основные понятия.

Результаты наблюдений  над случайной величиной Х называют выборкой из генеральной совокупности (из всех возможных значений случайной величины Х).

При большом числе наблюдений выборку оформляют в виде статистического группированного ряда: при этом весь диапазон значений х_i делится на интервалы, подсчитывается количество значений x_i, приходящееся на каждый интервал m_i , затем вычисляют частоты . Составляют таблицу: статистический ряд распределения.

Таблица 4.1
Интервалы			…
M	m1	m2	…	mi
Q	Q1	Q2.	…	Qi

Практика показывает, что число интервалов k должно быть порядка 10–20.

Статистический ряд графически оформляется в виде гистограммы.

Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы, на которых строят прямоугольники, площади которых равны Q_i (рис. 4.1). Ясно, что . Высоты прямоугольников вычисляют по формуле

.

Аналогом функции распределения  в математической статистике служит статистическая функция распределения

.

4.2 Числовые характеристики

Статистические начальные и центральные моменты определяются по формулам:

;
.

Статистические математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение определяют соответственно по формулам:

;
;
.