- •Раздел I
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •Раздел I — элементы теории вероятностей и математической статистики;
- •Раздел II — теория ошибок измерений.
- •1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •1.1 События и их виды
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •6 Контрольная работа №1
- •Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Литература
- •Приложения
- •Теория математической обработки геодезических измерений
- •Раздел I. Элементы теории вероятностей и математической статистики
4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
Оценка неизвестного параметра одним числом, например, по формуле , называется точечной оценкой. Недостаток такой оценки состоит в том, что точечная оценка является величиной случайной и не совпадает с параметром а, особенно при малом числе измерений. Более совершенным является способ оценивания с помощью доверительных интервалов. В задачу интервального оценивания входит построение интервала, который с заранее выбранной доверительной вероятностью накрывает неизвестное точное значение параметра. — близкая к единице вероятность, принимаемая в практических расчётах равной 0,90÷0,95.
Так, доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении строят по формуле
, |
|
где
и ,
t выбирается из таблиц интеграла вероятностей (Приложение B) по заданной вероятности .
Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении строят по формуле:
, |
|
где
; ; .
Коэффициент t определяют по заданной вероятности и числу степеней свободы в таблице распределения Стьюдента (Приложение D).
5 Элементы корреляционного анализа
5.1 Понятие о статистических связях
Существует две формы зависимости между величинами Х и Y: функциональная и статистическая.
Функциональной зависимостью между двумя величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствуют значения Y, которые можно точно указать (например: , и т.д.).
Статистической зависимостью между величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствует распределение значений Y, изменяющееся вместе с изменением Х.
Частным случаем статистической связи является прямолинейная корреляционная зависимость, при которой с изменением Х изменяется математическое ожидание Y по линейному закону.
5.2 Коэффициент корреляции
Теснота линейной корреляционной связи между двумя величинами Х и Y (степень близости корреляционной связи к функциональной) характеризуется коэффициентом корреляции
, |
|
оценка которого определяется по формуле
, |
|
где — статистический корреляционный момент ( — центральный смешанный момент второго порядка, важная числовая характеристика системы двух случайных величин).
, , вычисляются по формулам:
; ; . |
|
Коэффициент корреляции изменяется в пределах .
В случае, когда , имеет место отрицательная корреляция; при говорят о положительной корреляции. Если , то имеет место функциональная прямолинейная связь; если , то между Х и Y прямолинейная корреляционная связь отсутствует (однако другой вид связи может существовать).
Для оценки надёжности коэффициента корреляции при большом числе измерений ( ) применяют критерий Романовского: связь считается установленной, если выполняется условие
, |
|
где
. |
|
Для оценки надёжности при малом числе измерений ( ) применяют критерий Фишера (см. задачу 5.1).