- •Раздел I
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •Раздел I — элементы теории вероятностей и математической статистики;
- •Раздел II — теория ошибок измерений.
- •1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •1.1 События и их виды
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •6 Контрольная работа №1
- •Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Литература
- •Приложения
- •Теория математической обработки геодезических измерений
- •Раздел I. Элементы теории вероятностей и математической статистики
2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
Функция распределения.
Для непрерывной случайной величины график функции распределения (рис. 2.3) имеет форму плавной кривой.
Свойства функции распределения:
;
;
, если .
Рис. 2.3 — Функция распределения непрерывной величины
Плотность распределения определяется как производная от функции распределения, т.е.
. |
|
Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2.4).
Свойства плотности:
, т.е. плотность есть неотрицательная функция;
, т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.
Если все возможные значения случайной величины Х заключены в пределах от a до b, то второе свойство плотности примет вид:
.
Рис. 2.4 — Кривая распределения
2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от до . Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле
, |
|
при этом условились левую границу включать в участок , а правую β — не включать.
Для непрерывной случайной величины Х формула примет вид:
, |
|
так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (,) определяется также выражением:
. |
|
Эта вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.4.
Выразим функцию распределения через плотность . Функция распределения определяется выражением , а, учитывая , получаем формулу для вычисления функции распределения непрерывной случайной величины
, |
|
где х в верхнем пределе интегрирования представляет собой конкретное значение аргумента.
Задача 2.2. В условиях задачи 2.1 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах от 1 до 3 (т.е. будет равно или 1, или 2).
Решение. На основании имеем
.
Действительно,
.
Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .
Решение:
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле . Принимая и , находим
или по формуле
.
2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
Закон распределения характеризует полностью случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении ряда задач достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения; например, какое-то среднее значение (центр распределения), около которого группируются возможные значения случайной величины, или, например, число, характеризующее степень разброса этих значений относительно среднего, и т.д.
Математическое ожидание служит характеристикой центра распределения случайной величины. Применяют обозначения: или .
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности
. |
|
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле
. |
|
Свойства математического ожидания:
, где С — постоянная величина;
;
, если — взаимно независимые случайные величины.