7. Числові характеристики вв. Математичне сподівання та дисперсія.

Моменти випадкових величин і їх властивості.

Математическое ожидание СВ – это среднее значение СВ или точка на числовой оси, вокруг которой группируются все возможные значения СВ.

Физический смысл - «центр тяжести», «центр масс» М(х) = М[х] = m

Для ДСВ: m = Для НСВ: m =

Свойства мат. ожидания:

1)Мат.ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине М[С]=С

2)Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания: М[кХ] = к М[Х]

3)Мат.ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их мат.ожиданий: М[X+Y]= М[X] М[Y]

4) Мат.ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий: М[X Y]= М[X] М[Y]

5)Если все значения СВ увеличить (уменьшить) на постоянную величину С, то на эту же постоянную величину С увеличится (уменьшится) и ее мат.ожидание: М[X Y]= М[X] С

6)Мат.ожидание отклонения СВ от ее мат.ожидания равно 0: М[X- М(X)]= М[ ]=0

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от мат.ожидания. D(х) = D[х] = D D(х) = M[(x-a) ], a= М[X]

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением СВ Х называется арифметическое значение корня из ее дисперсии

ДСВ: D = НСВ: D =

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна 0: D[C]=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D[kX]=k D[X]

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D[X+Y]= D[X] + D[Y]

4. Дисперсия СВ равна разности мат.ожидания квадрата СВ и квадрата ее мат.ожидания: D[X]= М[X ]-(М[X])

Начальный момент к-го порядка – математическое ожидание к-ой степени этой величины: ДСВ: НСВ:

Центральный момент к-го порядка СВ Х – математическое ожидание к-ой степени отклонения СВ Х от ее мат.ожидания = М[x ] = М[(X-m ) ]

ДСВ: = НСВ: =

Мода (Пирсон, 1894) – наиболее часто встречающееся (самое модное) значение переменной. Например, модный цвет платья или песня на радио, т.е. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

8. Нормальний, рівномірний та показниковий (експоненціальний) закони

розподілу.

Равномерное распределение - непрерывная величина, принимающая значение из некоторого интервала, ни одно из значений которого не является более вероятным.

Функцией плотности распределения непрерывной случайной величины X называют функцию f (х)— первую производную от функции распределения F(х):

Н епрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его:

Кривая распределения равномерного закона R(a,b)

Функция распределения случайной величины Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [a,b]

M[x] = D[x] = , A_ss = 0, E_x = -1.2

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл:

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a,b], то:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу [а, b], равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: P(a < X < b) =

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:

Н ормальное распределение определяется двумя параметрами: m и σ.

М (X) = m, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру m.

Изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если m возрастает, и влево, если m убывает.

С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Функция распределения нормального закона с параметрами N(m,σ) равна

Для нормального распределения матожидание равно моде и медиане

Нормально распределенная с параметрами т и  случайная величина практически всегда принимает значения из промежутка (т – 3 ; т + 3).

П оказательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х,с параметром , которое описывается плотностью

M (x) = , D_x =

Функция распределения плотности экспоненциального закона

Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b] :