Задача №3.

Постановка задачи:

На предприятии-потребителе в городе В5 продукция, представ­ляющая собой полуфабрикат определенного типоразмера постоянного сечения и длиной 500 см, разрезается по двум вариантам раскроя:

а) на заготовки длиной 150 см, 180 см, 220см в комплектности, определяемой соотношением 4:1:8;

б) на заготовки длиной 150 см, 180 см, 220см, 300см в комплектности, определяемой соотношением 2:1:8:1

Требуется для обоих вариантов спланировать раскрой полуфабриката, при котором число комплектов заготовок будет наибольшим, и сравнить полученные результаты.

1. Формализация задачи: Обозначим j-номер варианта раскроя, а x_j-число единиц полуфабриката, разрезаемых по данному варианту раскроя. Варианты раскроя представлены в следующей таблице:

Тип заготовки	Число заготовок, нарезаемых из одной единицы полуфабриката по варианту раскроя
	№1	№2	№3	№4	№5	№6
150см	3	2	1	-	-	-
180см	-	1	-	2	1	-
220см	-	-	1	-	1	2
остаток	50	20	130	140	100	60

Тогда формальная модель задачи будет иметь следующий вид:

Z(x)=X0 →max,

D1=3∙X1+2∙X2+X3- 4∙X0=0,

D2= X2+ 2∙X4+X5- X0=0,

D3= X3+ X5+2∙X6-8∙X0=0,

K= X1+ X2+X3+ X4+X5+ X6 ≤102,

Xj≥0, j=0-6.

Табличная форма задачи. Исходные данные для машинного решения задачи запишем в виде таблицы, ориентированной на применение ППП «МикроЛП».

Название строки	Основные (структурные) переменные							Тип ограничения	Столбец свободных членов
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X0
Z							1	max	-
D1	3	2	1				-4	=	0
D2		1		2	1		-1	=	0
D3			1		1	2	-8	=	0
K	1	1	1	1	1	1		≤	102

Файл данных:

NAME2

NAME2

ROWS

N Z

N Z1

E D1

E D2

E D3

E K

COLUMNS

X1 D1 3.0

X1 K 1.0

X1 Z1 50.0

X2 D1 2.0

X2 D2 1.0

X2 K 1.0

X2 Z1 20.0

X3 D1 1.0

X3 D3 1.0

X3 K 1.0

X3 Z1 130.0

X4 D2 2.0

X4 K 1.0

X4 Z1 140.0

X5 D2 1.0

X5 D3 1.0

X5 K 1.0

X5 Z1 100.0

X6 D3 2.0

X6 K 1.0

X6 Z1 60.0

X0 Z 1.0

X0 D1 -4.0

X0 D2 -1.0

X0 D3 -8.0

RHS

R1 D1 0.0

R1 D2 0.0

R1 D3 0.0

R1 K 102.0

CRHS K 1.0

ENDATA

Результат решения:

0итер вв . выв. оценка функционал недопустим. число,длина

прямые,дв. столб. файла

0 0 0 .0000 102.00000 1 0 0 0

0дв. алгоритм прекращен

0 0 6 .0000 102.00000 1 0 0 0

1 7 3 -1.0000 102.00000 1 6 1 5

2 13 5 -1.3333 102.00000 1 6 2 12

3 12 4 -1.3333 102.00000 1 5 3 19

0допустимое решение.

4 10 6 -11.6667 -17.48571 0 4 4 26

5 8 10 -.0286 -18.00000 0 1 5 33

0оптимальное решение.

5 0 10 .0000 -18.00000 0 0 5 33

секция строк

строка N тип доп.переменная нижняя граница верхняя граница дв. оценка

Z 1 BS -18.00000 (NONE) (NONE) -1.00000

Z1 2 BS -5280.00000 (NONE) (NONE) .

D1 3 FX . . . -.05882

D2 4 FX . . . -.05882

D3 5 FX . . . -.08824

K 6 FX . 102.00000 102.00000 .17647

секция столбцов

столбец N тип переменная нижняя граница верхняя граница дв. оценка

X1 7 BS 12.00000 . (NONE) .

X2 8 BS 18.00000 . (NONE) .

X3 9 LL . . (NONE) .02941

X4 10 LL . . (NONE) .05882

X5 11 LL . . (NONE) .02941

X6 12 BS 72.00000 . (NONE) .

X0 13 BS 18.00000 . (NONE) .

Вывод данных завершен

8 BS 18.00000 . (NONE) .

X3 9 LL . . (NONE) .02941

X4 10 LL . . (NONE) .05882

X5 11 LL . . (NONE) .02941

X6 12 BS 72.00000 . (NONE) .

X0 13 BS 18.00000 . (NONE) .

Результат решения представлен в следующей таблице:

Способы обработки.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X0
Кол-во полуфабрикатов.	12	18				72	18

В результате решения задачи выяснилось, что при раскрое 102 деталей можно получить максимальное количество комплектов заготовок -18, если 12 деталей раскраивать по 1-му варианту раскроя, 18 деталей по 2-му варианту раскроя и 72 детали по 6-му варианту раскроя.

б) Формализация задачи: Обозначим j-номер варианта раскроя, а x_j-число единиц полуфабриката, разрезаемых по данному варианту раскроя. Варианты раскроя представлены в следующей таблице:

Тип заготовки	Число заготовок, нарезаемых из одной единицы полуфабриката по варианту раскроя
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8
150см	3	2	1	-	-	-	1	-
180см	-	1	-	2	1	-	-	1
220см	-	-	1	-	1	2	-	-
300см	-	-	-	-	-	-	1	1
остаток	50	20	130	140	100	60	50	20

Тогда формальная модель задачи будет иметь следующий вид:

Z(x)=X0 →max,

D1=3∙X1+2∙X2+X3+ X7 - 2∙X0=0,

D2= X2+ 2∙X4+X5+ X8 - X0=0,

D3= X3+ X5+2∙X6- 8∙X0=0,

D4= X7+X8- X0=0,

K= X1+ X2+X3+ X4+X5+ X6+X7+X8 ≤102,

Xj≥0, j=0-8.

Табличная форма задачи. Исходные данные для машинного решения задачи запишем в виде таблицы, ориентированной на применение ППП «МикроЛП».

Название строки	Основные (структурные) переменные									Тип ограничения	Столбец свободных членов
	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X0
Z									1	max	-
D1	3	2	1				1		-2	=	0
D2		1		3	1			1	-1	=	0
D3			1		1	2			-8	=	0
D4							1	1	-1	=	0
K	1	1	1	1	1	1	1	1		≤	102

Файл данных:

NAME3

NAME3

ROWS

N Z

N Z1

E D1

E D2

E D3

E D4

E K

COLUMNS

X1 D1 3.0

X1 K 1.0

X1 Z1 50.0

X2 D1 2.0

X2 D2 1.0

X2 K 1.0

X2 Z1 20.0

X3 D1 1.0

X3 D3 1.0

X3 K 1.0

X3 Z1 130.0

X4 D2 2.0

X4 K 1.0

X4 Z1 140.0

X5 D2 1.0

X5 D3 1.0

X5 K 1.0

X5 Z1 100.0

X6 D3 2.0

X6 K 1.0

X6 Z1 60.0

X7 D1 1.0

X7 D4 1.0

X7 K 1.0

X7 Z1 50.0

X8 D2 1.0

X8 D4 1.0

X8 K 1.0

X8 Z1 20.0

X0 Z 1.0

X0 D1 -2.0

X0 D2 -1.0

X0 D3 -8.0

X0 D4 -1.0

RHS

R1 D1 0.0

R1 D2 0.0

R1 D3 0.0

R1 D4 0.0

R1 K 102.0

CRHS K 1.0

ENDATA

Результат решения:

0итер вв . выв. оценка функционал недопустим. число,длина

прямые,дв. столб. файла

0 0 0 .0000 102.00000 1 0 0 0

0дв. алгоритм прекращен

0 0 7 .0000 102.00000 1 0 0 0

1 8 3 -1.0000 102.00000 1 8 1 5

2 11 4 -1.0000 102.00000 1 8 2 9

3 16 5 -1.1667 102.00000 1 6 3 17

4 13 6 -1.2917 102.00000 1 5 4 25

0допустимое решение.

5 14 7 -5.8333 -17.48571 0 3 5 33

6 9 8 -.0286 -17.73913 0 2 6 41

7 15 11 -.0435 -18.00000 0 1 7 49

0оптимальное решение.

7 0 11 .0000 -18.00000 0 0 7 49

секция строк

строка N тип доп.переменная нижняя граница верхняя граница дв. оценка

Z 1 BS -18.00000 (NONE) (NONE) -1.00000

Z1 2 BS -5280.00000 (NONE) (NONE) .

D1 3 FX . . . -.05882

D2 4 FX . . . -.05882

D3 5 FX . . . -.08824

D4 6 FX . . . -.11765

K 7 FX . 102.00000 102.00000 .17647

секция столбцов

столбец N тип переменная нижняя граница верхняя граница дв. оценка

X1 8 LL . . (NONE) .

X2 9 BS 12.00000 . (NONE) .

X3 10 LL . . (NONE) .02941

X4 11 LL . . (NONE) .05882

X5 12 LL . . (NONE) .02941

X6 13 BS 72.00000 . (NONE) .

X7 14 BS 12.00000 . (NONE) .

X8 15 BS 6.00000 . (NONE) .

X0 16 BS 18.00000 . (NONE) .

Вывод данных завершен

11 LL . . (NONE) .05882

X5 12 LL

Результат решения представлен в следующей таблице:

Способы обработки.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X0
Кол-во полуфабрикатов.		12				72	12	6	18

где X0-количество комплектов заготовок

В результате решения задачи выяснилось, что при раскрое 102 деталей можно получить максимальное количество комплектов заготовок -18, если 12 деталей раскраивать по 2-му варианту раскроя, 72 деталей по 6-му варианту раскроя, 12 детали по 7-му варианту раскроя и 6 деталей по 8-му варианту раскроя.

Вывод: В результате решения задачи мы выяснили, что для обоих вариантов максимальное количество комплектов заготовок будет равно 18-ти.

Список использованной литературы:

1. Н.Е. Матевицкая, Н.Г. Мустафин, В.П. Пирог, А.И. Яшин, Решение линейных оптимизационных задач средствами ППП «МикроЛП», учебное пособие, ЛЭТИ, СПб, 1998

2. Е.С. Вентцель, Элементы динамического программирования, «Наука», Москва, 1964