5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
В предыдущих разделах рассматривалось применение общих теорем механики системы материальных точек к подвижному объему жидкости, то есть объему сплошной среды, состоящему из одних и тех же частиц. Основные законы механики — закон сохранения массы, закон изменения количества движения, закон изменения энергии, сформулированные в виде соотношений (4.1-4.3) и (4.43), называют уравнениями динамики среды в интегральной форме.
Важно
иметь в виду, что подвижный объем
,
фигурирующий в этих формулах, произвольный.
Если использовать это обстоятельство,
то из соотношений (4.1-4.3) и (4.49) можно
получить намного больше информации,
чем это было сделано до сих пор, при
рассмотрении некоторых задач гидравлики.
В основе получения такой информации
лежит известная из курса математического
анализа теорема о том, что если интеграл
от непрерывной функции
,
вычисленный по любой произвольной
области
,
равен нулю, то в этой области тождественно
равна нулю подынтегральная функция
,
то есть из равенства
( — произвольный объем) следует равенство
.
Таким образом, если между гидродинамическими параметрами сплошной среды существуют интегральные соотношения, справедливые для любого объема , то в каждой точке пространства, занятого этой средой, должны существовать соотношения между локальными значениями этих параметров, т.е. значениями, вычисленными в этой точке. Такие соотношения, как будет показано ниже, дают систему дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Примером могут служить дифференциальные уравнения движения сплошной среды в напряжениях (1.30), полученные в гл. 1.
5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
Получение дифференциальных уравнений гидромеханики из законов сохранения, записанных в интегральной форме, основано на теореме Гаусса-Остроградского.
Пусть
компоненты некоторого непрерывно
дифференцируемого векторного поля
;
произвольная
гладкая замкнутая поверхность,
ограничивающая объем пространства V
и имеющая, внешнюю нормаль
.
Тогда имеет место равенство
.
(5.1)
Иными
словами, теорема Гаусса-Остроградского
позволяет преобразовать интеграл по
поверхности
в интеграл по объему
,
ограниченному этой поверхностью.
Поскольку интеграл
называют
потоком
вектора
через поверхность
,
а сумму трех частных производных
,
вычисленных
в точке
- дивергенцией
вектора
,
то поток вектора
через замкнутую поверхность
равен интегралу от дивергенции этого
вектора по объему
,
заключенному внутри нее.
Для
бесконечно малого объема
,
заключающего в себе точку
,
справедлива формула
или
.
(5.2)
Если
вектор
представляет скорость
жидкости, то поток вектора через замкнутую
поверхность
имеет смысл
объема жидкости, вытекающей
(если
)
или втекающей
(если
)
из объема
,
ограниченного этой поверхностью, в
единицу времени. Рассчитанный на единицу
объема пространства он имеет смысл
увеличения (если
)
или уменьшения (если
)
объема жидкости («дивергенция» буквально
означает «расхождение») в каждой точке
пространства. Таким образом, понятен
смысл дивергенции вектора как скорости
изменения объема жидкости в данной
точке пространства. В частности, для
несжимаемой жидкости, суммарный объем
которой внутри замкнутой поверхности
неизменен,
в каждой точке пространства, ограниченного
этой поверхностью.