Доказательство формулы размерности

Сформулируем вопрос: всегда ли формула размерности имеет вид степенного одночлена (6.1)? Оказывается всегда. Для доказательства этого утверждения проведем следующие расуждения. Пусть имеются, например, три исследователя , и , изучающие одно и то же явление, но пользующиеся различными единицами измерения для физических параметров , определяющих это явление:

При этом положим, что масштабы единиц измерения у этих наблюдателей связаны между собой следующим образом:

Тогда единицы измерения наблюдателя Д связаны с единицами измерения наблюдателя А формулами

_.

Пусть все исследователи , и измеряют одну и ту же физическую величину _{и получают для нее из-за различия единиц измерения а1, а2,…аn три различные значения: АВ, АС и АД. Пусть далее функция} переменных показывает, во сколько раз изменяется значение , если единицы измерения наблюдателя изменить соответственно в раз. Тогда значения _{АВ, АС и АД и должны быть связаны следующими формулами:}

_{и, следовательно,}

(6.3)

С другой стороны (если перейти от единиц измерения первого наблюдателя к единицам измерения третьего наблюдателя), должно выполняться равенство

. (6.4)

Поскольку физическая величина не может зависеть от промежуточных систем единиц измерения, то функция должна удовлетворять следующему функциональному уравнению

,

которое получается путем сравнения равенств (6.3) и (6.4).

Не останавливаясь на деталях решения этого функционального уравнения, скажем, что существует единственная функция, ему удовлетворяющая:

,

где — произвольные действительные числа [ ].

Таким образом, при изменении единицы измерения в раз величина меняется в раз, при изменении ₂ в раз величина меняется в раз и т.д. Значит, величина имеет размерность

,

что и доказывает формулу размерности (6.2).

6.3. Основной вопрос теории размерности

Пусть рассматривается физическое явление, математическая запись которого представляет собой зависимость определяемого параметра от некоторых величин , характеризующих это явление:

. (6.5)

Заметим, что, с одной стороны, аргументы этой зависимости, в общем случае являются размерными величины, то есть их численные значения зависят от выбора система единиц измерени. Выбрав за исходную другую систему единиц, получим другие значения аргументов функции . Следовательно, за счет изменения системы единиц измерения, можно произвольно изменять численные значения аргументов функции ƒ.

С другой стороны, вид функции ƒ не должен зависеть от выбора системы единиц измерения, поскольку эта функция выражает физическую закономерность, не связанную с тем, какой наблюдатель ее изучает и какой системой единиц при этом пользуется. Значит должна существовать такая запись этой зависимости, которая не зависит от выбора единиц измерения, или, как говорят, инвариантна по отношению к нему. Ясно, что такая запись должна содержать только безразмерные величины.

Теорема, доказывающая возможность записи всякого соотношения между размерными величинами, выражающего физическую закономерность, в безразмерном инвариантном виде, была доказана Букингемом и называется теоремой.