- •Интегральные характеристики индивидуального объема жидкости
- •Полная производная по времени от интегральной характеристики индивидуального объема
- •Контрольная поверхность
- •4.2. Закон сохранения массы
- •4.3. Закон изменения количества движения
- •4.4. Закон о изменения кинетической энергии
- •Расходомер Вентури
- •Уравнение Бернулли для линии тока идеальной несжимаемой жидкости
- •Трубка Пито-Прандтля
- •4.5. Закон изменения полной энергии
- •Распределение температуры в трубопроводе. Формула в.Г.Шухова.
- •4.6. Закон изменения момента количества движения
- •Уравнение л.Эйлера для насоса
- •5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
- •5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
- •5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности
- •5.3. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
- •5.4. Течение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера
- •5.5. Течение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса
- •6. Размерность величин и подобие явлений
- •6.1. Размерные и безразмерные величины
- •Первичные (основные) и вторичные (производные) единицы измерения
- •6.2. Формула размерности.
- •Доказательство формулы размерности
- •6.3. Основной вопрос теории размерности
- •6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
- •6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)
- •6.6. Пример: движение вязкой жидкости в цилиндрических трубах
- •6.7. Подобие и моделирование физических явлений
- •Критерии подобия и техника моделирования
Контрольная поверхность
Физический смысл формулы (4.11) особенно ясно выявляется при использовании понятия контрольная поверхность. Контрольная поверхность - это неподвижная в пространстве поверхность, с которой в некоторый момент времени совпадает поверхность рассматриваемого подвижного объема. Поскольку контрольная поверхность и ограничиваемый ею объем части пространства неподвижны, то интеграл
представляет собой скорость изменения величины А в данном объеме пространства, а поверхностный интеграл
дает скорость изменения параметра А за счет его «потока» через контрольную поверхность.
Таким образом, полная производная по времени от некоторой интегральной характеристики подвижного объема равна частной производной по времени от этой характеристики, вычисленной для неподвижного контрольного объема, с которым подвижный объем совпадает в данный момент, плюс поток количества А через поверхность контрольного объема.
Если течение жидкости - установившееся, то во всех точках пространства
,
следовательно, для установившегося движения имеет место соотношение
. (4.12)
Это равенство означает, что при установившемся течении жидкости изменение любой интегральной характеристики подвижного объема равно потоку этой характеристики через контрольную поверхность.
Отметим, что основные теоремы механики системы материальных точек можно применять к любому подвижному объему среды, поэтому в формуле (4.10) объем и поверхность, его ограничивающая, произвольны.
4.2. Закон сохранения массы
Положим, что параметр А обозначает плотность жидкости, т.е. , тогда, согласно (4.1), имеем:
Используя формулу (4.11), получаем:
. (4.13)
Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости в интегральной форме.
Пусть поверхность S состоит из трех частей: , через которую жидкость втекает в контрольный объем; , через которую жидкость вытекает из контрольного объема; и - поверхности твердых тел, непроницаемой для жидкости (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Баланс массы жидкости в канале сложной формы
Будем считать, что на поверхности единичный вектор нормали направлен внутрь объема жидкости, а на поверхностях и - во внешность этого объема. Тогда равенство (4.13) примет вид:
или
. (4.14)
Закон сохранения массы в форме (4.14) можно сформулировать следующим образом: масса жидкости, вошедшей в контрольную поверхность в единицу времени, минус масса жидкости, вышедшей через контрольную поверхность в единицу времени, равна изменению массы жидкости внутри контрольного объема в единицу времени.
В частности, для установившегося течения жидкости уравнение (4.14) упрощается:
.
Если жидкость течет в неподвижной трубке тока, то контрольную поверхность можно считать состоящей из трех частей: двух сечений и , через которые жидкость соответственно втекает и вытекает в контрольную поверхность и непроницаемой боковой поверхности , на которой (рис.4.5).
Рис. 4.5. Баланс массы жидкости в трубке тока
В этом случае общее уравнение (4.14) имеет особенно простой вид:
. (4.15)
Величину
называют массовым расходом жидкости. Формула (4.15) показывает, что массовый расход жидкости при установившемся течении постоянен вдоль трубки тока и не зависит от формы ее сечения.
Если воспользоваться определением средней по сечению скорости жидкости и понянием средней по сечению плотности жидкости, которые удволетворяют уравнению
то последнее равенство можно представить в виде
. (4.16)
Если плотность жидкости не изменяется между сечениями и , то формула (4.16) упрощается:
. (4.17)
В частности, для таких слабосжимаемых жидкостей, какими являются вода, нефть, нефтепродукты, и которые движутся в условиях изотермического режима, предположение о неизменности плотности выполняется достаточно точно. Если же речь идет о течении этих жидкостей в трубопроводе с постоянным диаметром, , то из равенства (4.16) следует , т.е. скорость таких жидкостей не изменяется по длине трубопровода.
Формула (4.17) показывает, что произведение скорости жидкости на площадь поперечного сечения трубы есть постоянная величина, поэтому там, где сечение уменьшается, средняя скорость жидкости увеличивается, и, наоборот, там, где сечение расширяется, средняя скорость жидкости уменьшается.
Формула (4.17) дает также возможность экспериментальным путем определять среднюю скорость жидкости в трубе. Если замерить объем жидкости , прошедшей через сечение трубы за определенное время , то расход и средняя скорость жидкости в этом сечении рассчитываются по формулам
. (4.18)